洛谷 P14520 【MX-S11-T1】战争游戏 题解

洛谷 P14520 【MX-S11-T1】战争游戏 题解

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洛谷 P14520 【MX-S11-T1】战争游戏

思路分析

Task 1

Trick 1：若小 L 的士兵总数大于小 K，则小 L 必定获胜。

证明：小 L 先把所有的士兵聚到 1 点，由于其为先手故肯定不会被小 K 的士兵咬住，然后再平推即可。

Trick 2：若小 K 的士兵总数大于等于小 L 并且 \(a_m\le a_{m+1}\)，或者小 K 的士兵总数减 \(a_{m+1}\) 大于等于小 L 的士兵总数加 \(a_{m+1}\)，则小 K 必胜。

证明：同 Trick 1，先收缩再平推。

Task 2

有了这两个 Trick，考虑一般情况。发现如果 \(m\) 处的士兵攻占了 \(m+1\) 处，那么由于这时小 K 的士兵若后撤则比小 L 的士兵快一步，只需要考虑小 K 收缩后能否平推即可；若进攻，则只需考虑 \(a_m,a_{m+1},a_{m+2}\) 即可。如果 \(m\) 处的士兵无法攻占 \(m+1\) 处，则当小 L 聚集士兵时，小 K 可以直接收缩。故我们只需要考虑 \(a_m,a_{m+1},a_{m+2}\) 即可。

• 若 \(a_m>a_{m+1}\) 且 \(a_m+a_{m+1}>a_{m+2}\)，则 \(m\) 处士兵攻占 \(m+1\) 处，\(m+2\) 处士兵向回撤退；
• 若 \(a_m>a_{m+1}\) 且 \(a_m+a_{m+1}\le a_{m+2}\)，则 \(m\) 处士兵向后收缩；
• 若 \(a_m\le a_{m+1}\)，则 \(m\) 处士兵向后收缩。

证明：\(m\) 处士兵攻占 \(m+1\) 处后还不会被 \(m+2\) 处的士兵攻占，故进攻可以获得 \(a_{m+1}\) 的士兵；\(m+2\) 处的士兵可能会被 \(m+1\) 处的士兵攻占，若后撤则不会损失，若聚集兵力则 \(m+1\) 处的士兵可以直接撤退或对峙或直接进攻，可能损失兵力，故后撤最优。后面两点证明同理。

Task 3

因此，我们直接按照上面分析的 \(3\) 种情况判断双方士兵总数的变化，然后由于攻占完后双方都会撤退，故比对双方士兵总数即可，可使用前缀和优化。总时间复杂度 \(\mathcal O(n)\)。

代码呈现

十年 OI 一场空，____________

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

const int N=1e5+10;
int t,n;
int a[N];
ll sa[N];

int main(){
    scanf("%d",&t);
    while (t--){
        scanf("%d",&n);
        for (int i=1;i<=n;++i) scanf("%d",a+i),sa[i]=sa[i-1]+a[i];
        for (int i=1;i<n;++i) // 注意 i=n-2 时的边界
            putchar((sa[i+(i<n-1 && a[i]>a[i+1] && a[i]+a[i+1]>a[i+2])]<<1)>sa[n]?'1':'0');
        putchar('\n');
    }
    return 0;
}