洛谷 P2118 [NOIP 2014 普及组] 比例简化 题解

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洛谷 P2118 [NOIP 2014 普及组] 比例简化

思路分析

首先，观察到 \(l\) 的范围比较小，考虑枚举 \(A'\)。由题意 \(\frac{A'}{B'}\ge\frac{A}{B}\)，则 \(B'\le\frac{B\times A'}{A}\)。又因为 \(B'\in\Z\)，所以 \(B'_{\max}=\lfloor\frac{B\times A'}{A}\rfloor\)。但是，这道题目的坑来了，如果 \(B'_{\max}>L\)，不意味着无法成立，还可能取 \(B'=L\)，所以应该让 \(B'=\min(\lfloor\frac{B\times A'}{A}\rfloor,L)\)。

然后，坑 \(2\) 又来了。根据初中数学知识，分母不为 \(0\)，而 \(B'\) 又恰好在分母，所以如果 \(B'_{\max}=0\)，那么 \(B'\) 就没有正整数可以取了，要直接 continue 掉。

最后，如何选出差值最小的呢？由于比较差值都要减去 \(\frac{A}{B}\)，不妨给两边都加上一个 \(\frac{A}{B}\)，则只需比较两个分数大小即可，交叉相乘一下，若 \(\frac{a}{b}<\frac{c}{d}\)，则 \(ad<bc\)，可以避免浮点数精度问题，同时乘法相比除法稍微更快一点。

小优化

观察到当 \(A',B'\) 不互质时，化简后的结果 \(A''\) 必定小于 \(A'\)，所以已经被处理过，就不用再考虑了，时间复杂度优化至 \(O(L)\)。

代码呈现

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a,b,l;

// int gcd(int a,int b){ return b?gcd(b,a%b):a; }
int main(){
    scanf("%d%d%d",&a,&b,&l);
    int s1=-1,s2=-1;
    for (int i=1;i<=l;++i){
        int j=min(i*b/a,l);
        if (j==0/* || gcd(i,j)!=1*/) continue;
        if ((s1==-1 && s2==-1) || i*s2<j*s1) s1=i,s2=j;
    }
    printf("%d %d",s1,s2);
    return 0;
}