P3934 [Ynoi Easy Round 2016] 炸脖龙 I 做题记录

前置芝士：扩展欧拉定理

题目大意

给一个长为 \(n\) 的序列，\(m\) 次操作，每次操作：

1. 区间 \([l,r]\) 加 \(x\)；
2. 对于区间 \([l,r]\)，查询：

\[{a_l}^{{a_{l+1}}^{{a_{l+2}}^{{\dots} ^{a{r}}}}} \mod p \]

思路

首先我们有：

\[a^k\equiv \left\{\begin{matrix}a^k, & k<\varphi(p)\\ a^{(k\bmod {\varphi(p)})+\varphi(p)}, & k\ge \varphi(p)\end{matrix}\right.\ \pmod p \]

注意到这两个情况不可以合并，可以举出反例：\(a=2,k=2,p=16\) 时，\(a^k \bmod p =4\)，而 \(a^{(k\bmod \varphi(p))+\varphi(p)} \bmod p = 0\)。

我们考虑询问怎么解决。首先有 \({a_l}^{{a_{l+1}}^{{\dots}^{a_r}}} \bmod p\)，我们可以把上面那一大坨先放到扩展欧拉定理里面，递归解决。

我们记录真实值和取模后的值。特殊的，当真实值被设为 \(-1\) 时则代表以及超过模数，使用下面的情况。

首先特判当 \(p=1\) 时可以直接返回 \(0\)（取模后的值）和 \(1\) （真实值）；然后特判 \(a\) 为 \(1\) 的情况，因为当 \(a\) 为 \(1\) 时，当前情况不管 \(p\) 为啥都真实值和取模后的值都为 \(1\)，所以一定是归类在第一种里面。

看到这里我们来证明一下时间复杂度。

我们对 \(\varphi(p)\) 进行讨论：

• 当 \(\varphi(p)\) 为质数时：
  • \(p=2,\varphi(p)=1\)，此时下一轮一定会停止递归。
  • \(p\ne 2,\varphi(p)=p-1\)，此时下一轮 \(p\)（此时的 \(\varphi(p)\)）一定为偶数。
• 当 \(\varphi(p)\) 不为质数时：
  • \(p\) 为偶数时，根据欧拉函数的计算公式，对于 \(p=\prod_{i=1}^{x} {c_i}^{d_i}(c_i>1)\) 有 \(\varphi(p)=p\times \prod_{i=1}^{x}\frac{c_i-1}{c_i}\)，因为 \(p\) 为偶数，即一定有一个 \(c_i=2\)，则 \(p\) 至少会减少 \(\frac12\)。
  • \(p\) 为奇数时，根据欧拉函数的计算公式，对于 \(p=\prod_{i=1}^{x} {c_i}^{d_i}(c_i>1)\) 有 \(\varphi(p)=p\times \prod_{i=1}^{x}\frac{c_i-1}{c_i}\)，因为 \(p\) 为奇数且 \(p\) 不为质数，即一定有一个奇数 \(c_i\) 且没有偶数 \(c_i\)，又因为 \(c_i-1\) 一定为偶数，则下一轮 \(p\)（此时的 \(\varphi(p)\)）一定为偶数。

综上，我们证明了两次操作之后，\(p\) 一定会乘上 \(\frac12\)。所以说一次询问的递归层数为 \(O(\log p)\) 层。而快速幂的时间复杂度为 \(O(\log V)\)（\(V\) 为值域），则每次查询时间复杂度为 \(O(\log p\log V)\)。

对于快速求欧拉函数，因为 \(p\in[1,2\times 10^7]\)，我们可以预处理出这个范围里的欧拉函数值。时间复杂度 \(O(n)\)。

时间复杂度：\(O(m\log p\log V)\)。

点击查看代码

#include<bits/stdc++.h>

#define int i128
#define pii pair<int,int> 
#define pll pair<long long,long long> 
#define ll long long
#define i128 __int128

#define mem(a,b) memset((a),(b),sizeof(a))
#define m0(a) memset((a),0,sizeof(a))
#define m1(a) memset(a,-1,sizeof(a))
#define lb(x) ((x)&-(x))
#define lc(x) ((x)<<1)
#define rc(x) (((x)<<1)|1)
#define pb(G,x) (G).push_back((x))
#define For(a,b,c) for(int a=(b);a<=(c);a++)
#define Rep(a,b,c) for(int a=(b);a>=(c);a--)
#define in1(a) a=read()
#define in2(a,b) a=read(), b=read()
#define in3(a,b,c) a=read(), b=read(), c=read()
#define in4(a,b,c,d) a=read(), b=read(), c=read(), d=read()
#define fst first 
#define scd second 
#define dbg puts("IAKIOI")

using namespace std;

int read() {
	int x=0,f=1; char c=getchar();
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar()) f=(c=='-'?-1:1); 
	for(;c<='9'&&c>='0';c=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);
	return x*f;
}
void write(int x) { if(x>=10) write(x/10); putchar('0'+x%10); }

const int mod = 998244353;
pii qpo(int a,int b,int mod,int opt) {
	a%=mod; pii res={1,opt?1:0};
	int B=b;
	if(a>1) while(res.second*a<mod&&B) B--,res.second*=a;
	if(!B&&opt) {
		res.first=res.second; return res;
	}
	res.second=-1;
	for(;b;b>>=1,a=(a*a)%mod) 
		if(b&1) res.first=res.first*a%mod; 
	return res; 
}
int inv(int a) {return qpo(a,mod-2,mod,1).fst; }

#define maxn 500050

int n,m,a[maxn];

struct Bit {
	int c[maxn];
	void add(int x,int val) {
		for(;x<maxn;x+=lb(x)) c[x]+=val;
	}
	int query(int x) {
		int res=0;
		for(;x;x-=lb(x)) res+=c[x];
		return res;
	}
	void alr(int l,int r,int val) {
		add(l,val); add(r+1,-val);
	}
}Tr;

vector<int> pri;
bool pr[20007000];
int phi[20007000];

void pre(int n) {
	phi[1]=1;
	For(i,2,n) {
		if(!pr[i]) phi[i]=i-1,pri.push_back(i);
		for(auto x:pri) {
			if(i*x>n) break;
			pr[i*x]=1;
			if(i%x==0) {
				phi[i*x]=phi[i]*x; 
				break;
			}
			phi[i*x]=phi[i]*phi[x];
		}
	}
}

pii dfs(int idx,int lim,int p) {
//	cout<<(ll)idx<<' '<<(ll)Tr.query(idx)<<' '<<(ll)lim<<' '<<(ll)p<<' '<<(ll)phi[p]<<'\n';
	if(idx==lim) return {Tr.query(idx)%p,Tr.query(idx)>=p?-1:Tr.query(idx)};
	if(Tr.query(idx)<=1&&p>1) return {Tr.query(idx),Tr.query(idx)};
	if(p==1) return {0,-1};	
	
	pii nxt=dfs(idx+1,lim,phi[p]);
	pii res=qpo(Tr.query(idx),(nxt.scd>=p||nxt.scd<0)?((nxt.fst%phi[p])+phi[p]):nxt.fst,p,nxt.scd>=0?1:-1); 
//	cout<<"idx:"<<(ll)idx<<" res:"<<(ll)res.fst<<'\n';
	return res;
}

void work() {
	in2(n,m); pre(20000000);
	For(i,1,n) {
		in1(a[i]); 
		Tr.add(i,a[i]); Tr.add(i+1,-a[i]);
	}
	while(m--) {
		int opt,l,r,x;
		in4(opt,l,r,x);
		if(opt==1) Tr.alr(l,r,x);
		else {
			write(dfs(l,r,x).fst); putchar('\n');
		}
	}
}

signed main() {
//	freopen("data.in","r",stdin);
//	freopen("myans.out","w",stdout);
//	ios::sync_with_stdio(false); 
//	cin.tie(0); cout.tie(0);
	double stt=clock();
	int _=1;
//	_=read();
//	cin>>_;
	For(i,1,_) {
		work();
	}
	cerr<<"\nTotal Time is:"<<(clock()-stt)*1.0/1000<<" second(s)."<<'\n';
	return 0;
}