最长公共上升子序列

题目描述

熊大妈的奶牛在小沐沐的熏陶下开始研究信息题目。

小沐沐先让奶牛研究了最长上升子序列，再让他们研究了最长公共子序列，现在又让他们研究最长公共上升子序列了。

小沐沐说，对于两个数列 A 和 B，如果它们都包含一段位置不一定连续的数，且数值是严格递增的，那么称这一段数是两个数列的公共上升子序列，而所有的公共上升子序列中最长的就是最长公共上升子序列了。

奶牛半懂不懂，小沐沐要你来告诉奶牛什么是最长公共上升子序列。

不过，只要告诉奶牛它的长度就可以了。

数列 A 和 B 的长度均不超过 3000。

输入格式

第一行包含一个整数 N，表示数列 A，B 的长度。

第二行包含 N 个整数，表示数列 A。

第三行包含 N 个整数，表示数列 B。

输出格式

输出一个整数，表示最长公共上升子序列的长度。

数据范围

\(1 \leq N \leq 3000,\) 序列中的数字均不超过 \(2^{31}−1\)。

输入样例：

4
2 2 1 3
2 1 2 3

输出样例：

2

Solution:

状态表示：
\(f[i][j]\) 代表所有 \(a[1...i]\) 和 \(b[1...j]\) 中以 \(b[j]\) 结尾的公共上升子序列的长度最大值

状态计算：

依据公共子序列中是否包含 \(a[i]:\)

• 不包含\(a[i]\)的子集，最大值是\(f[i-1][j]\)；
• 包含\(a[i]\)的子集，枚举子序列的倒数第二个元素 \(b[k](0 \leq k \leq n)\)：

\[k=0, f[i][j]=1 \]

\[k>0, f[i][j]=f[i-1][k]+1 \]

目标： \(\max_{1}^{n} f[n][i]\)

注意： 对于包含\(a[i]\)的子集，可用前缀最大值优化至 \(O(n^2)\)

Code:

#include <cstdio>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=3005;

int n;
int a[N],b[N];
int f[N][N];

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;++i)scanf("%d",&b[i]);

    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        int maxv=1;
        for(int j=1;j<=n;++j)
        {
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(a[i]==b[j])f[i][j]=max(f[i][j],maxv);
            if(b[j]<a[i])maxv=max(maxv,f[i-1][j]+1);
        }
    }

    int res=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        res=max(res,f[n][i]);
    printf("%d\n",res);

    return 0;
}