[NOIP2015 提高组] 子串

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 \(A\) 和 \(B\)。

现在要从字符串 \(A\) 中取出 \(k\) 个互不重叠的非空子串，然后把这 \(k\) 个子串按照其在字符串 \(A\) 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 \(B\) 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 \(n,m,k\)，分别表示字符串 \(A\) 的长度，字符串 \(B\) 的长度，以及问题描述中所提到的 \(k\)，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 \(n\) 的字符串，表示字符串 \(A\)。

第三行包含一个长度为 \(m\) 的字符串，表示字符串 \(B\)。

输出格式

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 \(1000000007\) 取模的结果。

样例输入 #1

6 3 1 
aabaab 
aab

样例输出 #1

2

样例输入 #2

6 3 2 
aabaab 
aab

样例输出 #2

7

样例输入 #3

6 3 3 
aabaab 
aab

样例输出 #3

7

提示

对于第 1 组数据:\(1≤n≤500,1≤m≤50,k=1\);
对于第 2 组至第 3 组数据:\(1≤n≤500,1≤m≤50,k=2\);
对于第 4 组至第 5 组数据:\(1≤n≤500,1≤m≤50,k=m\);
对于第 1 组至第 7 组数据:\(1≤n≤500,1≤m≤50,1≤k≤m\);
对于第 1 组至第 9 组数据:\(1≤n≤1000,1≤m≤100,1≤k≤m\);
对于所有 10 组数据:\(1≤n≤1000,1≤m≤200,1≤k≤m\)。

Solution:

状态表示：\(f[i, j, k]\)表示只用\(A\)的前\(i\)个字母，选取了\(k\)段，可以匹配\(B\)的前\(j\)个字母的方案数。

状态计算：将\(f[i, j, k]\)表示的所有方案分成两大类：

1. 不用\(S[i]\)，则方案数是 \(f[i - 1, j, k]\)；
2. 使用\(S[i]\)，那么可以按\(S[i]\)所在的一段一共有多少字母继续分类：

\[如果有t个字母，则方案数是f[i - t, j - t, k - 1] \]

时间复杂度: \(O(nm2k)\)

---

时间优化：

我们发现f[i, j, k]第二项的表达式和f[i - 1, j - 1, k]第二项的表达式很像，具有递推关系，因此可以令sum[i, j, k] = sum(f[i - t, j - t, k])，则：

如果 S[i] == T[j]，那么 sum[i, j, k] = sum[i - 1, j - 1, k] + f[i - 1, j - 1, k - 1]；
如果 S[i] != T[j]，那么 sum[i, j, k] = 0；
至此，时间复杂度可以降至 \(O(nmk)\)。

空间优化：

空间上需要 \(2nmk\) 的内存，总共需要 \(2×1000×20022×1000×2002\)个int，约 \(152MB\)，超过了内存限制。

仔细观察转移方程，发现f[i, j, k]和sum[i, j, k]均只和第i - 1层有关，因此可以使用滚动数组，同时可以发现j和k只会从更小的值转移过来，因此可以使用类似于01背包问题优化空间的方式，从大到小枚举j, k，这样连滚动都可以省略了。(参考AcWing)

Code:

#1

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

const int N=1005,M=205,mod=1000000007;

int n,m,K,ans;
int f[N][M][M];
string a,b;

int main()
{
    cin>>n>>m>>K>>a>>b;
    a=" "+a;b=" "+b;

    for(int i=0;i<=n;++i)f[i][0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(int j=1;j<=m && j<=i;++j)
            for(int k=1;k<=K && k<=j;++k)
            {
                f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
                for(int t=1;i>=t && j>=t;++t)
                    if(a.substr(i-t+1,t)==b.substr(j-t+1,t))
                        f[i][j][k]=(f[i][j][k]+f[i-t][j-t][k-1])%mod;
            }
    }
    printf("%d\n",f[n][m][K]);
    return 0;
}

#2

#include <iostream>
#include <string>

using namespace std;

const int N=1005,M=205,mod=1000000007;

int n,m,K,ans;
int f[M][M],s[M][M];
string a,b;

int main()
{
    cin>>n>>m>>K>>a>>b;
    a=" "+a;b=" "+b;

    f[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        for(int j=m;j>=1;--j)
            for(int k=K;k>=1;--k)
            {
                if(a[i]==b[j])
                    s[j][k]=(s[j-1][k]+f[j-1][k-1])%mod;
                else
                    s[j][k]=0;
                f[j][k]=(f[j][k]+s[j][k])%mod;
            }
    printf("%d\n",f[m][K]);
    return 0;
}