[NOIP2018 提高组] 货币系统

题目描述

在网友的国度中共有 \(n\) 种不同面额的货币，第 \(i\) 种货币的面额为 \(a[i]\)，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 \(n\)、面额数组为 \(a[1..n]\) 的货币系统记作 \((n,a)\)。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 \(x\) 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 \(x\)，都存在 \(n\) 个非负整数 \(t[i]\) 满足 \(a[i] \times t[i]\) 的和为 \(x\)。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 \(x\) 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 \(n=3\), \(a=[2,5,9]\) 中，金额 \(1,3\) 就无法被表示出来。

两个货币系统 \((n,a)\) 和 \((m,b)\) 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 \(x\)，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 \((m,b)\)，满足 \((m,b)\) 与原来的货币系统 \((n,a)\) 等价，且 \(m\) 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 \(m\)。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 \(T\)，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 \(T\) 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 \(n\)。接下来一行包含 \(n\) 个由空格隔开的正整数 \(a[i]\)。

输出格式

输出文件共有 \(T\) 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 \((n,a)\) 等价的货币系统 \((m,b)\) 中，最小的 \(m\)。

样例 #1

样例输入 #1

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

样例输出 #1

2   
5

提示

在第一组数据中，货币系统 \((2, [3,10])\) 和给出的货币系统 \((n, a)\) 等价，并可以验证不存在 \(m < 2\) 的等价的货币系统，因此答案为 \(2\)。 在第二组数据中，可以验证不存在 \(m < n\) 的等价的货币系统，因此答案为 \(5\)。

【数据范围与约定】

对于 \(100\%\) 的数据，满足 \(1 ≤ T ≤ 20, n,a[i] ≥ 1\)。

Analysis:

需要仔细挖掘此题性质：

1.\(a_1,a_2,...,a_n\) 一定都可以被表示出来

2.在最优解中，\(b_1,b_2,...,b_m\) 都是从 \(a_1,a_2,...,a_n\) 中选择出来的

3.对于每一个 \(b_i(1 \leq i \leq m)\) 都不能被任意一个 \(b_j(1 \leq j \leq m,j \neq i)\) 表示出来

Solution:

1.将 \(a_1,a_2,...,a_n\) 从小到大排序

2.对于每一个 \(a_i\)，判断其是否能被 \(a_j(1 \leq j < i)\) 表示出来:若不可被表示，则ai必选

对于2.，可以使用完全背包：

设\(f_j(0/1)\)表示数字\(j\)是否能被表示出来

物品：\(a_1,a_2,...,a_{i-1}\)

容量：\(a_n\)

Code:

#1

#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N=105,M=25005;

int n;
int a[N],b[N];
bool f[M];

int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);

    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;++i)
            scanf("%d",&a[i]);
        sort(a+1,a+n+1);

        memset(f,0,sizeof(f));
        int cnt=0;
        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            bool flag=1;
            for(int j=1;flag && j<=cnt;++j)
            {
                for(int k=b[j];k<=a[i];++k)
                    f[k]|=f[k-b[j]];
                if(f[a[i]])flag=0;
            }
            if(!f[a[i]])
            {
                b[++cnt]=a[i];
                f[a[i]]=1;
            }
        }

        printf("%d\n",cnt);
    }
    return 0;
}

#2