理解矩阵

理解矩阵

前苏联的名著《数学：它的内容、方法和意义》、龚昇教授的《线性代数五讲》、Encounter with Mathematics（《数学概观》）、Thomas A. Garrity的《数学拾遗》

参考：https://blog.csdn.net/myan/article/details/647511

线性代数是通过公理化表述的，是第二代数学模型。

最熟悉的空间是按照牛顿绝对时空观我们所生活的三维空间，从数学上说，这是一个欧几里得三维空间。在这个三维的空间：

1. 由很多（实际上是无穷多个）位置点组成
2. 这些点之间存在相对的关系
3. 可以在空间中定义长度、角度
4. 这个空间可以容纳运动，这里我们所说的运动是从一个点到另一个点的移动（变换），而不是微积分意义上的“连续”性的运动

1，2是空间的基础，而4是空间的本质，换言之空间的本质特征是容纳运动。

将关于三维空间的认识扩展到其他的空间。不管是什么空间，都必须容纳和支持在其中发生的符合规则的运动（变换）。在某种空间中往往会存在一种相对应的变换，比如拓扑空间中有拓扑变换，线性空间中有线性变换，仿射空间中有仿射变换。

因此可以得知，空间是一个对象的集合。

线性空间的描述

• 向量可以被认为是具有n个相互独立的性质（维度）的对象的表示。

• 空间可以容纳对象运动，一种空间对应一类对象。有一种空间叫做线性空间，线性空间容纳向量对象运动。

• 运动是瞬时的，因此向量的运动也称为变换。

• 线性空间中，向量刻画对象，矩阵刻画对象的运动，基刻画线性空间里的坐标系，矩阵和向量的乘法代表施加了运动（变换）。

基的描述

对于一个线性变换，只要选定一组基，那么就可以找到一个矩阵来描述这个线性变换。换一组基，就得到一个不同的矩阵。所有这些矩阵都是这同一个线性变换的描述，但又都不是线性变换本身。

举例说明
若矩阵A与B是同一个线性变换的两个不同的描述（之所以会不同，是因为选定了不同的基，也就是选定了不同的坐标系），则一定能找到一个非奇异矩阵P，使得A、B之间满足这样的关系：A = P^-1BP
非奇异矩阵 == 可逆矩阵 == |A| != 0

• 相似矩阵，就是同一个线性变换的不同的描述矩阵。同一个变换，在不同的坐标系下表现为不同的矩阵，但是它们的本质是一样的，所以本征值相同。

矩阵可以用来描述运动和基

1. 线性变换可以用矩阵描述：线性变换T 在线性空间V中一组基下的描述 可用矩阵A来表示。
2. 对向量施加的运动（变换）。
3. 当把矩阵看作一组向量时，矩阵又可以描述一个基（坐标系）。

对象的变换等价于坐标系的变换，即运动是相对的。

矩阵乘法两种理解

Ma = b

• a经过矩阵M所描述的变换，变成了向量b

• 有一个向量，它在坐标系M的度量下得到的度量结果向量为a，那么它在坐标系I（单位矩阵，对角线元素为1，其余元素为0）的度量下，这个向量的度量结果是b

MxN

对坐标系施加变换，就是表示坐标系的矩阵与表示变化的矩阵相乘。

• 表明坐标系N在运动M下的变换结果。
• 若把M当成N的前缀，当成N的环境描述。也就是说，在M坐标系度量下，有另一个坐标系N。这个坐标系N如果放在坐标系I中度量，其结果为坐标系MxN。

1. 从变换的观点看，对坐标系N施加M变换，就是把组成坐标系N的每一个向量施加M变换。

2. 从坐标系的观点看，在M坐标系中表现为N的另一个坐标系，这也归结为，对N坐标系的每一个向量，把它在I坐标系中的坐标找出来，然后汇成一个新的矩阵。

3. 矩阵乘以向量的规定可以这样理解，一个在M中度量为a的向量，如果想要恢复在I中的真像，就必须分别与M中的每一个向量进行內积运算。