考研数学——数列篇

文章目录

• • 数列极限与函数极限的关系（归结原则）
  • 如何证明一个数列的极限存在？
  • • 基础：数列极限的定义（ε-N语言）
    • 单调有界定理（核心定理）
    • 夹逼准则（迫敛性）
    • 数列极限与函数极限的关系（归结原则）
    • 四则运算法则
    • 柯西收敛准则
    • 总结：证明极限存在的流程

数列极限与函数极限的关系（归结原则）

定理内容：
设函数$f(x)$在$[a,+\infty )$（$a$为某个正数）上有定义，则${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=A$（$A$为常数或$\pm \infty$）的充要条件是：
对任意一个满足${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=+\infty$的正整数数列$\{x_n\}$（即$x_n$是正整数，且$x_n$无限增大），都有${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$。

除了$x\to +\infty$，函数极限还有$x\to -\infty$、$x\to x_0$（$x_0$为有限数）等过程，归结原则可相应推广，核心逻辑一致——“函数极限存在”等价于“所有满足条件的离散子列的极限都存在且相等”。 以$x\to x_0$（$x_0$为有限数）为例：

定理内容：
设函数$f(x)$在$x_0$的某去心邻域$\mathring{U}(x_0)$内有定义，则${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$的充要条件是：
对任意一个满足${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=x_0$且$x_n\ne x_0$的数列$\{x_n\}$（即$x_n$无限趋近于$x_0$，但始终不等于$x_0$），都有${\lim }_{n\to \infty }f(x_n)=A$。

如何证明一个数列的极限存在？

基础：数列极限的定义（ε-N语言）

设$\{x_n\}$是一个数列，$a$是一个常数。若对任意给定的正数$\epsilon$（无论多小），总存在一个正整数$N$，使得当$n>N$时，不等式
$$|x_n-a|<\epsilon$$
恒成立，则称数列$\{x_n\}$的极限为$a$，记为${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$（此时极限存在）；若不存在这样的常数$a$，则数列极限不存在。

定义法证明的核心逻辑：
本质是“对任意$\epsilon >0$，找到对应的$N$”——即通过解不等式$|x_n-a|<\epsilon$，将$n$用$\epsilon$表示，进而确定$N$的取值（$N$只需存在，无需最小）。

示例：证明${\lim }_{n\to \infty }\frac{2n+1}{n}=2$

• 步骤1：猜想极限$a=2$（因$\frac{2n+1}{n}=2+\frac{1}{n}$，当$n\to \infty$时$\frac{1}{n}\to 0$）；
• 步骤2：对任意$\epsilon >0$，需证$|x_n-2|=\left|\frac{2n+1}{n}-2\right|<\epsilon$；
• 步骤3：化简不等式：$\left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}<\epsilon$，即$n>\frac{1}{\epsilon }$；
• 步骤4：取$N=\max \left\{\left[\frac{1}{\epsilon }\right]+1,1\right\}$（例如$\epsilon =0.01$时，$\frac{1}{\epsilon }=100$，取$N=101$）；
• 步骤5：当$n>N$时，$n>\frac{1}{\epsilon }$，故$\frac{1}{n}<\epsilon$，即$|x_n-2|<\epsilon$。因此极限存在且为2。

对复杂数列（如无法直接解$|x_n-a|<\epsilon$的数列），可通过以下定理快速判断极限是否存在（部分定理还能直接求出极限）。

单调有界定理（核心定理）

定理内容：若数列$\{x_n\}$满足以下两个条件：

1. 单调性：$\{x_n\}$单调递增（$x_{n+1}\ge x_n$）或单调递减（$x_{n+1}\le x_n$）；
2. 有界性：$\{x_n\}$有上界（存在常数$M$，使$x_n\le M$对所有$n$成立）或有下界（存在常数$m$，使$x_n\ge m$对所有$n$成立）；

则$\{x_n\}$的极限一定存在（单调递增有上界→极限存在；单调递减有下界→极限存在）。

适用场景：数列表达式含递推关系（如$x_{n+1}=f(x_n)$），或可通过不等式（如均值不等式）证明单调性和有界性。

示例：证明数列$x_1=1$，$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$的极限存在

• 步骤1：证明有上界：
  归纳法：$x_1=1\le 2$；假设$x_k\le 2$，则$x_{k+1}=\sqrt{2+x_k}\le \sqrt{2+2}=2$。故所有$x_n\le 2$，有上界2。
• 步骤2：证明单调递增：
  作差：$x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n$。需证其非负：
  由$x_n\le 2$，得$2+x_n\ge x_n^2$（即$x_n^2-x_n-2\le 0$，因式分解$(x_n-2)(x_n+1)\le 0$，显然成立），故$\sqrt{2+x_n}\ge x_n$，即$x_{n+1}\ge x_n$。
• 结论：数列单调递增且有上界，故极限存在（进一步可求极限：设${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，对$x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}$两边取极限，得$a=\sqrt{2+a}$，解得$a=2$）。

夹逼准则（迫敛性）

定理内容：若存在三个数列$\{x_n\}$、$\{y_n\}$、$\{z_n\}$，满足以下两个条件：

1. 对所有足够大的$n$，有$y_n\le x_n\le z_n$；
2. ${\lim }_{n\to \infty }{y}_n={\lim }_{n\to \infty }{z}_n=a$（$a$为常数）；

则${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，即$\{x_n\}$的极限存在且为$a$。

数列极限与函数极限的关系（归结原则）

定理内容：${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$的充要条件是：对任意以$\infty$为极限的正整数数列$\{n_k\}$（即$n_k\to \infty$，$k\to \infty$），都有${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=a$。

推论（否定极限存在）：若存在两个不同的子列$\{n_k\}$和$\{m_k\}$，使得${\lim }_{k\to \infty }{x}_{n_k}=b$，${\lim }_{k\to \infty }{x}_{m_k}=c$，且$b\ne c$，则$\{x_n\}$的极限不存在。

适用场景：

• 证明极限存在：将数列视为函数$f(n)$（$n$为正整数），若${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=a$，则${\lim }_{n\to \infty }f(n)=a$（可利用洛必达法则等求函数极限）；
• 证明极限不存在：构造两个子列，使其极限不同（如摆动数列）。

示例1（证明存在）：证明${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}=0$

• 令$f(x)=\frac{\ln x}{x}$（$x>0$），求函数极限：${\lim }_{x\to +\infty }\frac{\ln x}{x}\stackrel{\text{洛必达}}{=}{\lim }_{x\to +\infty }\frac{1/x}{1}=0$。
• 由归结原则，${\lim }_{n\to \infty }\frac{\ln n}{n}=0$，极限存在。

示例2（证明不存在）：证明数列$\{(-1{)}^n\}$的极限不存在

• 构造子列：
  • 取偶数子列$\{n_k=2k\}$：$x_{2k}=(-1{)}^{2k}=1$，故${\lim }_{k\to \infty }{x}_{2k}=1$；
  • 取奇数子列$\{m_k=2k-1\}$：$x_{2k-1}=(-1{)}^{2k-1}=-1$，故${\lim }_{k\to \infty }{x}_{2k-1}=-1$。
• 两个子列极限不同（1 ≠ -1），故$\{(-1{)}^n\}$的极限不存在。

四则运算法则

若${\lim }_{n\to \infty }{x}_n=a$，${\lim }_{n\to \infty }{y}_n=b$，则：
${\lim }_{n\to \infty }(x_n\pm y_n)=a\pm b$，${\lim }_{n\to \infty }(x_n\cdot y_n)=a\cdot b$，${\lim }_{n\to \infty }\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}$（$b\ne 0$）。
适用于“已知部分数列极限，求复合数列极限”的场景（需先确认分项极限存在）。

柯西收敛准则

对数列$\{x_n\}$，极限存在的充要条件是：对任意$\epsilon >0$，存在正整数$N$，当$n>N$且$m>N$时，$|x_n-x_m|<\epsilon$。

总结：证明极限存在的流程

1. 观察数列特征：

   • 若表达式简单（如分式、一次函数），优先用定义法；
   • 若含递推关系（如$x_{n+1}=f(x_n)$），优先用单调有界定理；
   • 若可放缩为两个已知极限的数列之间，优先用夹逼准则；
   • 若可转化为函数（如含$\ln n$、$e^n$），优先用归结原则+函数极限。

2. 验证或否定极限：

   • 若上述方法能找到常数$a$满足条件，则极限存在；
   • 若存在子列极限不同、或数列无界且不趋于$\infty$、或不满足柯西条件，则极限不存在。

通过以上方法的组合与灵活应用，可高效判断绝大多数数列的极限是否存在。