约瑟夫环问题

约瑟夫环运作如下：

1、一群人围在一起坐成[2]  环状（如：N）

2、从某个编号开始报数（如：K）

3、数到某个数（如：M）的时候，此人出列，下一个人重新报数

4、一直循环，直到所有人出列[3]  ，约瑟夫环结束

 

花了一个小时时间，总算明白了，赶紧写下来防止以后又忘了；

这里我们假定从编号1开始报数。首先我们可以确定的是，最后只剩下一个人时，他的编号为1。

我们要做一个递推公式，关于新编号和旧编号的关系。因为最后的情况已经确定，如果能知道该递推公式，

就可以从最后的编号1一直往前推。

 

首先看看旧编号和新编号的关系。

旧编号 （ｉ个人）              新编号（ｉ－１个人）

1                 　　　　　　　　          1

2                  　　　　　　　　         2

3                     　　　　　　　　      3

。。。              　　　　　　　　 。。。

s-1                    　　　　　　　　    i-1

s                         　　　　　　　　   --

s+1                     　　　　　　　　   1

s+2                   　　　　　　　　     2

。。。              　　　　　　　　 。。。

 

假定旧编号为s的人出列，那么旧编号从s+1开始重新编号。

 

可以得到： 旧编号 _ｉ= （新编号_ｉ－１＋ｓ－１）％ｉ　＋１；　（＊）

 

式中ｓ未知。但其实对ｉ个人来说，从１开始报数，报到ｍ出列的那个人的编号是可求的；

 

编号　＝　（报数－１）％ｉ＋１；

则　ｓ＝（ｍ－１）％ｉ＋１；

 

代入式（＊）可得：　 旧编号 _ｉ= （新编号_ｉ－１＋ｍ－１）％ｉ　＋１；

 

至此，可以从最后的编号１开始，往前推到初始情况该人的编号。