牛客刷题-Day6
牛客刷题-Day5
今日刷题：\(1026-1030\)
1026 合并回文子串
题目描述
输入两个字符串 \(A\) 和 \(B\)，合并成一个串 \(C\)，属于 \(A\) 和 \(B\) 的字符在 \(C\) 中顺序保持不变。如 abc 和 xyz 可以被组合成 axbycz 或 abxcyz 等。
我们定义字符串的价值为其最长回文子串的长度（回文串表示从正反两边看完全一致的字符串，如 aba 和 xyyx）。
需要求出所有可能的 \(C\) 中价值最大的字符串，输出这个最大价值即可。
输入描述
第一行一个整数 \(T\)（\(T ≤ 50\)）。
接下来 \(2T\) 行，每两行两个字符串分别代表 \(A\)，\(B\)（\(|A|,|B| ≤ 50\)），\(A\)，\(B\) 的字符集为全体小写字母。
输出描述
对于每组数据输出一行一个整数表示价值最大的 \(C\) 的价值。
示例
输入
2
aa
bb
a
aaaabcaa
输出
4
5
解题思路
之前做关于回文子串的动态规划题目，是以 \(f_{i,j}\) 表示区间字符串 \([i,j]\) 是否为回文串或者回文子串，是对单个字符串的状态表示，但该题目涉及两个字符串。关于 \(f_{i,j,p,q}\) 表示字符串 \(A\) 的 \([i,j]\) 与 \(B\) 的 \([p,q]\) 是否构成回文子串的状态表示没有第一时间想出来，能力还是欠缺。
- 状态表示：\(f_{i,j,p,q}\) 表示字符串 \(A\) 的 \([i,j]\) 与 \(B\) 的 \([p,q]\) 是否构成回文串；
- 状态计算：题目中提到 \(A\) 和 \(B\) 合并成的串的字符在 \(C\) 中的顺序保持不变，那么 \(A\) 的 \([i,j]\) 与 \(B\) 的 \([p,q]\) 构成的串的首元素来自 \(A_i\) 或者 \(B_p\)，尾元素来自 \(A_j\) 或者 \(B_q\)，因此共存在 \(A_i=A_j\)、\(A_i=B_q\)、\(B_p=A_j\)、\(B_p=B_q\) 四种情况，故
if (A[i] == A[j]) f[i][j][p][q] |= f[i + 1][j - 1][p][q];
if (A[i] == B[q]) f[i][j][p][q] |= f[i + 1][j][p][q - 1];
if (B[p] == A[j]) f[i][j][p][q] |= f[i][j - 1][p + 1][q];
if (B[p] == B[q]) f[i][j][p][q] |= f[i][j][p + 1][q - 1];
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 55;
int T;
string A, B;
bool f[N][N][N][N];
int main() {
cin >> T;
while (T--) {
memset(f, 0, sizeof f);
cin >> A >> B;
A = "#" + A, B = "#" + B;
int n = A.size(), m = B.size(), ans = 1;
for (int len1 = 0; len1 <= n; len1++)
for (int len2 = 0; len2 <= m; len2++)
for (int i = 1; i + len1 - 1 < n; i++)
for (int p = 1; p + len2 - 1 < m; p++) {
int j = i + len1 - 1, q = p + len2 - 1;
if (len1 + len2 <= 1)
f[i][j][p][q] = 1;
else {
if (A[i] == A[j]) f[i][j][p][q] |= f[i + 1][j - 1][p][q];
if (A[i] == B[q]) f[i][j][p][q] |= f[i + 1][j][p][q - 1];
if (B[p] == A[j]) f[i][j][p][q] |= f[i][j - 1][p + 1][q];
if (B[p] == B[q]) f[i][j][p][q] |= f[i][j][p + 1][q - 1];
}
if (f[i][j][p][q])
ans = max(ans, len1 + len2);
}
cout << ans << endl;
}
return 0;
}
1027 取数游戏2
题目描述
给定两个长度为 \(n\) 的整数列 \(A\) 和 \(B\)，每次你可以从 \(A\) 数列的左端或右端取走一个数。假设第 \(i\) 次取走的数为 \(a_x\)，则第 \(i\) 次取走的数的价值 \(v_i=b_i⋅a_x\)，现在希望你求出 \(∑v_i\) 的最大值。
输入描述
第一行一个数 \(T\)，表示有 \(T\) 组数据。
对于每组数据，第一行一个整数 \(n\)，
接下来两行分别给出 \(A\) 数列与 \(B\) 数列。
输出描述
每一组数据输出一行，最大的 \(∑v_i\)。
示例
输入
2
2
1 1000
2 1
5
1 3 5 2 4
1 2 3 4 5
输出
2001
52
说明
对于第二个样例，
第一次从左边取走 \(a_1\)，\(v_1=a_1⋅b_1=1\)，
第二次从左边取走 \(a_2\)，\(v_2=a_2⋅b_2=6\)，
第三次从右边取走 \(a_5\)，\(v_3=a_5⋅b_3=12\)，
第四次从右边取走 \(a_4\)，\(v_4=a_4⋅b_4=8\)，
第五次取走剩下的 \(a_3\)，\(v_5=a_3⋅b_5=25\)，
总价值 \(∑v_i=1+6+12+8+25=52\)。
备注
\(T≤10;1≤n≤10^3;1≤a_i,b_i≤10^3\)
解题思路
这道题比较简单，可以逆向解决：根据题意，从最后取走的元素往两边扩展。
- 状态表示：\(f_{i,j}\) 表示区间 \([i,j]\) 的元素已被取走的价值和，则取的要么是 \(a_i\)，要么是 \(a_j\)，故状态转移方程 \(f_{i,j}=max\{f_{i+1,j}+a_i*b_k,f_{i,j-1}+a_j*b_k\},k=j-i+1\)，这里将 \(b\) 数组进行了翻转。
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
int T, n;
int a[N], b[N];
int f[N][N]; // [i, j] 已取走的价值和
int main() {
scanf("%d", &T);
while (T--) {
memset(f, 0, sizeof f);
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &a[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d", &b[i]);
reverse(b + 1, b + n + 1);
for (int i = 1; i <= n; i++)
f[i][i] = a[i] * b[1];
for (int i = n; i >= 1; i--)
for (int j = i + 1; j <= n; j++) {
int k = j - i + 1;
f[i][j] = max(f[i + 1][j] + a[i] * b[k], f[i][j - 1] + a[j] * b[k]);
}
printf("%d\n", f[1][n]);
}
return 0;
}
1028 wyh的问题
题目描述
我国现在能源消耗非常严重，现在政府有这样一个工作，每天早上都需要把一些路灯关掉，但是他们想让在关闭的过程中所消耗的能源是最少的，负责路灯关闭的工作人员以 \(1m/s\) 的速度进行行走，假设关闭路灯的时候不需要花费任何的时间，请你编写一个程序，计算在给定路灯位置和每个路灯的消耗能源的多少，求出当所有路灯关闭的时候所需要的最少能量。
输入描述
多组测试数据循环输入。
每组测试数据第一行：\(N\) 表示路灯的数量。（\(2<=N <=1000\)）
第二行：\(V\) 表示开始关灯的路灯号码。（\(1<=V<=N\)）
接下来的 \(N\) 行中，每行包含两个用空格隔开的整数 \(D\) 和 \(W\)，用来描述每盏灯的参数。
\(D\) 表示该路灯到原点的距离 (用米为单位来表示)，
\(W\) 表示灯泡的功率，即每秒该灯泡所消耗的能量数。（\(0<=D<=1000\)，\(0<=W<=1000\)）
路灯按照顺序给出，起始位置的那盏灯不算消耗的电能里面。
输出描述
输出一个整数，即消耗能量之和的最小值。
示例
输入
4
3
2 2
5 8
6 1
8 7
输出
56
说明
对于样例，一开始在第三个路灯的位置，即在 \(6\) 位置；
第 \(1s\) 的时候去 \(5\) 把第二盏灯关闭，消耗电能 \(8\)；
然后去第四盏灯，第四盏灯亮的时间是 \(4s\)，所以消耗电能 \(28\)；
最后去关第一盏灯第一盏灯亮的时间是 \(10s\)，所以消耗电能 \(20\)；
最后总和为 \(8+28+20=56\)。
解题思路
洛谷之前做过类似的题目：P1220 关路灯。
关灯，从起点往两边依次进行，要么往左要么往右，然后来回折返。
- 状态表示：\(f_{i,j,0}\) 表示 \([i,j]\) 的灯已关闭，且最后在 \(i\) 处的电能消耗；\(f_{i,j,1}\) 表示 \([i,j]\) 的灯已关闭，且最后在 \(j\) 处的电能消耗。这里 \(i\) 和 \(j\) 为路灯的索引，不是路灯具体的位置，因为数据是按照顺序给出的。
- 状态计算：因为速度的原因，这里距离的数值和时间是相同的。
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1010;
typedef long long LL;
int n, v;
struct Light {
int d, w;
} a[N];
LL s[N], f[N][N][2]; // i 到 j 索引的灯已关闭
int main() {
while (scanf("%d", &n) != EOF) {
scanf("%d", &v);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%d%d", &a[i].d, &a[i].w);
memset(f, 0x3f, sizeof f);
for (int i = 1; i <= n; i++)
s[i] = s[i - 1] + a[i].w;
f[v][v][0] = f[v][v][1] = 0;
for (int len = 2; len <= n; len++)
for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) {
int l = i, r = i + len - 1;
f[l][r][0] = min(f[l + 1][r][0] + (a[l + 1].d - a[l].d) * (s[l] + s[n] - s[r]),
f[l + 1][r][1] + (a[r].d - a[l].d) * (s[l] + s[n] - s[r]));
f[l][r][1] = min(f[l][r - 1][0] + (a[r].d - a[l].d) * (s[l - 1] + s[n] - s[r - 1]),
f[l][r - 1][1] + (a[r].d - a[r - 1].d) * (s[l - 1] + s[n] - s[r - 1]));
}
printf("%lld\n", min(f[1][n][0], f[1][n][1]));
}
return 0;
}
1029 [NOIP2007]矩阵取数游戏
题目描述
帅帅经常跟同学玩一个矩阵取数游戏：对于一个给定的 \(n*m\) 的矩阵，矩阵中的每个元素 \(a_{ij}\) 均为非负整数。游戏规则如下：
- 每次取数时须从每行各取走一个元素，共 \(n\) 个。\(m\) 次后取完矩阵所有元素；
- 每次取走的各个元素只能是该元素所在行的行首或行尾；
- 每次取数都有一个得分值，为每行取数的得分之和，每行取数的得分 = 被取走的元素值$ * 2^i$，其中 \(i\) 表示第 \(i\) 次取数（从 \(1\) 开始编号）；
- 游戏结束总得分为 \(m\) 次取数得分之和。
帅帅想请你帮忙写一个程序，对于任意矩阵，可以求出取数后的最大得分。
输入描述
第 \(1\) 行为两个用空格隔开的整数 \(n\) 和 \(m\)。
第 \(2~n+1\) 行为 \(n*m\) 矩阵，其中每行有 \(m\) 个用单个空格隔开的非负整数。
输出描述
输出一个整数，即输入矩阵取数后的最大得分。
示例1
输入
2 3
1 2 3
3 4 2
输出
82
说明
第 \(1\) 次：第1行取行首元素，第2行取行尾元素，本次得分为 \(1 * 2^1 + 2 * 2^1 = 6\)；
第 \(2\) 次：两行均取行首元素，本次得分为 \(2 * 2^2 + 3 * 2^2 = 20\)；
第 \(3\) 次：得分为 \(3 * 2^3 + 4 * 2^3 = 56\)；
总得分为 \(6 + 20 + 56 = 82\)。
示例2
输入
1 4
4 5 0 5
输出
122
示例3
输入
2 10
96 56 54 46 86 12 23 88 80 43
16 95 18 29 30 53 88 83 64 67
输出
316994
备注
\(60\%\) 的数据满足：\(1 ≤ n, m ≤ 30\)，答案不超过 \(10^{16}\)
\(100\%\) 的数据满足：\(1 ≤ n, m ≤ 80\)，\(0 ≤ a_{i,j} ≤ 1000\)
解题思路
根据题意，每行的取数都是独立的，因此我们对每行进行操作，最后所有加起来即可，思路类似 \(1027\)。
要注意数据范围，即使用 long long 也只能过 \(60\%\) 的数据。
C++ 代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100;
__int128 qmi(__int128 a, int b) {
__int128 res = 1;
while (b) {
if(b & 1)
res = res * a;
a = a * a;
b >>= 1;
}
return res;
}
template <typename T> void Out(T x) {
if(x < 0) putchar('-') , x = -x;
if(x > 9) Out(x / 10);
putchar(x % 10 + '0');
}
int n, m;
int a[N][N];
__int128 f[N][N]; // 区间 i 到 j 已取完
// __int128只能做加减乘除，判断，移位运算等操作
// 需要自己写输入和输出，一般我们只要会自写输出即可
int main() {
cin >> n >> m;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= m; j++)
cin >> a[i][j];
__int128 ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
memset(f, 0, sizeof f);
for (int j = 1; j <= m; j++)
f[j][j] = a[i][j] * qmi(2, m);
for (int l = m; l >= 1; l--)
for (int r = l + 1; r <= m; r++) {
int k = m - (r - l);
f[l][r] = max(f[l + 1][r] + qmi(2, k) * a[i][l],
f[l][r - 1] + qmi(2, k) * a[i][r]);
}
ans += f[1][m];
}
Out(ans);
return 0;
}
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