扩展欧几里得算法

要使用扩展欧几里得算法求解形如 $ ax + by = c $ 的二元一次方程的正整数解，需满足 $ c $ 是 $ \gcd(a,b) $ 的倍数（贝祖定理）。

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一、判断方程是否有解

1. 必要条件
   方程 $ ax + by = c $ 有整数解当且仅当 $ \gcd(a,b) \mid c $（即 $ c $ 是 $ a $ 和 $ b $ 最大公约数的倍数）。
   • 若 $ \gcd(a,b) \nmid c $，方程无解。

2. 转化为标准形式
   若 $ \gcd(a,b) \mid c $，令 $ g = \gcd(a,b) $，将方程两边除以 \(g\)，得到简化方程：
   \(a'x + b'y = \frac{c}{g} \quad (其中\ a' = \frac{a}{g},\ b' = \frac{b}{g},\ \gcd(a',b') = 1)\)

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二、扩展欧几里得算法求特解

1. 递归求解
   使用扩展欧几里得算法，找到方程 $ a'x + b'y = 1 $ 的一组整数解 $ (x_0', y_0') $ 。
   • 递归终止条件：当 $ b = 0 $ 时，\(x = 1\)，\(y = 0\)，返回 \(a\) 作为最大公约数。
   • 递归过程：通过 \(\gcd(b, a \% b)\) 回溯计算 \(x\) 和 \(y\)，公式为：
   $
   x = y', \quad y = x' - \left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor \cdot y'
   $

2. 调整解为原方程特解
   原方程 \(ax + by = c\)的特解为：
   \(x_0 = x_0' \cdot \frac{c}{g}, \quad y_0 = y_0' \cdot \frac{c}{g}\)

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三、求通解并筛选正整数解

1. 通解公式
   方程的所有整数解可表示为：
   \(x = x_0 + \frac{b}{g} \cdot t, \quad y = y_0 - \frac{a}{g} \cdot t \quad (t \in \mathbb{Z})\)
   其中 \(t\)是任意整数。

2. 筛选正整数解
   解以下不等式组，找到使 \(x > 0\) 且 \(y > 0\)的整数 \(t\)：
   \( \begin{cases} x_0 + \frac{b}{g} \cdot t > 0 \\ y_0 - \frac{a}{g} \cdot t > 0 \end{cases} \)
   • 联立解出 \(t\)的范围，并取整数值。

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四、代码实现

void exgcd(int &x,int &y,int a,int b)
{
    if(!b)
    {
        x=1;
        y=0;
        return;
    }
    exgcd(x,y,b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
}