[题解] 洛谷 P8479 「GLR-R3」谷雨 题解

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第一次写黑题题解，特别纪念一下。

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前言

偷偷的说（别被他本人发现了已经被发现了）：今年是老师Rainybunny出这道题的第 \(3\) 年，当他给我讲树链剖分的时，语言略带神秘，但不禁露出些许自豪的说，这道题是他出的。

但，即使是他出的，我也要吐槽一下：这什么屎山代码？

有大佬用虚实链剖分切了，鄙人不才，所以写一个大家都可以理解的题解供大家参考。

题目大意

给定 \(n\) 个结点的树，有 \(q\) 次操作，如下：

  • 修改：对于在路径 \((u,v)\) 上的节点或在路径上的邻接点 \(x\)，将 \(x\) 的点权变为 \(k\)。
  • 查询：对于在路径 \((u,v)\) 上的节点 \(x\)：
    1.将 \(x\) 的点权加入 \(S\)；
    2.按标号升序枚举 \(x\) 的不在路径上的邻接点 \(y\)，将 \(y\) 的点权加入 \(S\)。求 \(S\) 的最大可空子段和。

看似很简单。

引入

大家都知道「NOI 2021」轻重边这道题吧，这道题是这样的：

每条边一开始都是轻边。
有两种操作：

  • 修改：将 \((u,v)\) 路径上的点的邻接点变成轻边，再将 \((u,v)\) 路径上的边变成重边。
  • 查询：\((u,v)\) 上一共有多少条重边。

我们发现了一个没有什么用的性质：每次修改的部分很像一条毛毛虫。

显然，我们要将边变成点，用一个点表示一条边，可以说这样做是很疯狂的，非常恐怖。

不妨换一个思路，一条边是重边，当且仅当：它被次修改的路径包含，并且在此次修改后, 它的两个端点都没有被其他修改路径包含。

换句话说：最后一次涉及这条边的两个端点的修改是同一个修改。

如此，我们便解决了这道题，但是，对毛毛虫的修改和对路径查询，真的不能做吗？

答案是：能！

思路

回忆树链剖分的基本逻辑：将需要维护的信息（树上路径）通过重编号（dfn）实现到区间上。现在，我们更关心所谓的毛毛虫的信息，那么就需要设计一种将毛毛虫通过重编号转化到区间的算法。

我们先定义一下毛毛虫的结构：对于数 \(Tree=(V,E)\) 和树上一条路径的点集 \(P\)，定义毛毛虫为：

\[C=P\cup\underset{x\in P}{\bigcup}\{y\mid(x,y)\in E\} \]

同时，我们亲切的称 \(P\) 为 \(C\) 的毛毛虫虫身，\(C\setminus P\) 为 \(C\) 的虫足。

这样，原题的两种操作可以用一下三种操作组合而成：

  1. 虫足点权赋值（为 \(0\)，除了 \(LCA\) 的父亲）；
  2. 虫身赋值（为 \(1\)，除了 \(LCA\)）；
  3. 虫身点权和查询（减去 \(LCA\) 贡献）。

重点：解决了定义，但如何剖分？

汪老师在课堂上说这个是毛毛虫剖分。

首先，为什么我们要用重链？因为我们跳整个链，从 \(S_u\gets2S_u\)，我们只有用重链剖分才能保证我的时间复杂度。

但是，我们要再重链剖分的基础上改进一下，在其原有的性质的基础上增加必要的性质。

对于本题来说，重编号方法不难构造。先为树根编号，接着从树根所在的重链出发，依次进行：

  1. 为除重链头 \(top\) 以外的重链结点依次编号；
  2. 依次枚举重链结点，为它们的轻儿子依次编号（这些儿子是其他重链的 \(top\)）；
  3. 任意顺序递归 \(2.\) 中的轻儿子。


在这幅图中，黄色箭头表示将要递归的子树；橙色边是重边；蓝色的框是重儿子；绿色框是重链两边的轻儿子。

可以看出，毛毛虫剖分的重编号的性质：

  • 对于重链，除 \(top\) 外的结点编号连续；
  • 对于任意结点，其轻儿子编号连续；
  • 对于重链毛毛虫，除 \(top\) 的父亲外所有虫足编号连续。

所以，毛毛虫剖分可以很方便的维护毛毛虫信息。并且，他能顺便维护重链剖分的所有信息，还能维护子树的所有信息（子树最多剖分为三部分：重链区间、邻接轻点区间、邻接轻子树区间）。

时间复杂度为：\(O(q\log^2n)\)，与重链剖分完全一样。

屎山代码

知道了思路就很好做了，但是写的时候很难说。

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for (int i = l;i <= r; i++)
#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define max(a,b) (a)<(b)?(b):(a)
#define LL long long
#define fi first
#define se second

using namespace std;

inline int read() {
	int x;
	cin >> x;
	return x;
}

const int N = 1e5 + 10, IINF = 0x3f3f3f3f;
int n, ecnt, fa[N], val[N], head[N];
int dep[N], siz[N], son[N];
vector<int> g[N];

int dfc[2], dfn[N][2], top[N], rnk[N][2];
int clef[N][2], crig[N][2];
int spos[N][2];

struct Atom {
	LL sum, lmx, rmx, amx;
	inline Atom rev() const {
		return { sum, rmx, lmx, amx };
	}
	inline Atom operator + (const Atom& t) const {
		return {sum + t.sum, max(lmx, sum + t.lmx), max(rmx + t.sum, t.rmx), max(max(amx, t.amx), rmx + t.lmx)};
	}
	inline Atom& operator *= (const Atom& t) {
		return *this = *this + t;
	}
	inline Atom& operator += (const Atom& t) {
		return *this = t + *this;
	}
};

struct SegmentTree {//学会封装线段树是很重要的
	Atom uni[N << 2];
	int len[N << 2], tag[N << 2];
	inline void pushup(const int u) {
		uni[u] = uni[u << 1] + uni[u << 1 | 1];
	}
	inline void build(int u, int l, int r, int id) {
		len[u] = r - l + 1, tag[u] = IINF;
		if (l == r) {
			uni[u].sum = val[rnk[l][id]];
			uni[u].lmx = uni[u].rmx = uni[u].amx = max(0, val[rnk[l][id]]);
			return ;
		}
		int mid = (l + r) >> 1;
		build(u << 1, l, mid, id), build(u << 1 | 1, mid + 1, r, id);
		pushup(u);
	}
	inline void change(int u, int v) {
		tag[u] = v, uni[u].sum = 1ll * len[u] * v;
		uni[u].lmx = uni[u].rmx = uni[u].amx = max(0ll, uni[u].sum);
	}
	inline void pushdown(int u) {
		if (tag[u] != IINF) {
			change(u << 1, tag[u]), change(u << 1 | 1, tag[u]);
			tag[u] = IINF;
		}
	}
	inline void mulity(int u, int l, int r,int al, int ar, int k) {
		if (al > ar) return ;
		if (al <= l && r <= ar) return change(u, k);
		int mid = (l + r) >> 1;
		pushdown(u);
		if (al <= mid) mulity(u << 1, l, mid, al, ar, k);
		if (mid < ar) mulity(u << 1 | 1, mid + 1, r, al, ar, k);
		pushup(u);
	}
	inline Atom query(int u, int l, int r,int ql, int qr) {
		if (ql > qr) return { 0, 0, 0, 0 };
		if (ql <= l && r <= qr) return uni[u];
		int mid = (l + r) >> 1;
		pushdown(u);
		if (qr <= mid) return query(u << 1, l, mid, ql, qr);
		if (mid < ql) return query(u << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
		return query(u << 1, l, mid, ql, qr)
		       + query(u << 1 | 1, mid + 1, r, ql, qr);
	}
} T[2];

inline void dfs1(int u) {
	siz[u] = 1, dep[u] = dep[fa[u]] + 1;
	for (int v : g[u]) {
		dfs1(v), siz[u] += siz[v];
		if (siz[v] > siz[son[u]]) son[u] = v;
	}
}

inline void retopF(int u) {
	clef[u][0] = dfc[0] + 1;
	if (!top[u]) dfn[u][0] = ++dfc[0];
	for (int v : g[u]) {
		if (v == son[u]) spos[u][0] = dfc[0];
		else dfn[v][0] = ++dfc[0];
	}
	crig[u][0] = dfc[0];
	if (son[u]) retopF(son[u]);
}

inline void retopR(int u) {
	clef[u][1] = dfc[1] + 1;
	for (int i = int(g[u].size()) - 1, v; ~i; --i) {
		if ((v = g[u][i]) == son[u]) spos[u][1] = dfc[1];
		else dfn[v][1] = ++dfc[1];
	}
	if (!top[u]) dfn[u][1] = ++dfc[1];
	crig[u][1] = dfc[1];
	if (son[u]) retopR(son[u]);
}

inline void dfs2(int u, int tp) {
	top[u] = tp;
	if (u == tp) retopF(u), retopR(u);
	if (son[u]) dfs2(son[u], tp);
	for (int v : g[u]) if (v != son[u]) dfs2(v, v);
}

inline int lca(int u, int v) {
	while (top[u] != top[v]) {
		if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) v = fa[top[v]];
		else u = fa[top[u]];
	}
	return dep[u] < dep[v] ? u : v;
}

inline void mulity(int u, int v, int k, int id) {
	while (top[u] != top[v]) {
		if (dep[top[u]] < dep[top[v]]) u ^= v ^= u ^= v;
		T[id].mulity(1, 1, n, clef[top[u]][id], crig[u][id], k);
		if (son[u]) {
			T[id].mulity(1, 1, n, dfn[son[u]][id], dfn[son[u]][id], k);
		}
		u = top[u];
		T[id].mulity(1, 1, n, dfn[u][id], dfn[u][id], k);
		u = fa[u];
	}
	if (dep[u] < dep[v]) u ^= v ^= u ^= v;
	T[id].mulity(1, 1, n, clef[v][id], crig[u][id], k);
	if (son[u]) T[id].mulity(1, 1, n, dfn[son[u]][id], dfn[son[u]][id], k);
	if (v == top[v]) T[id].mulity(1, 1, n, dfn[v][id], dfn[v][id], k);
	if (fa[v]) T[id].mulity(1, 1, n, dfn[fa[v]][id], dfn[fa[v]][id], k);
}

inline void append(Atom& res, int u, int p,int id) {
	int l = clef[u][id];
	if (dfn[p][id] < spos[u][id]) {
		res += T[id].query(1, 1, n, spos[u][id] + 1, crig[u][id]);
		res += T[id].query(1, 1, n, dfn[son[u]][id], dfn[son[u]][id]);
		res += T[id].query(1, 1, n, max(dfn[p][id] + 1, l), spos[u][id]);
		res += T[id].query(1, 1, n, l, dfn[p][id] - 1);
	} else {
		res += T[id].query(1, 1, n, max(dfn[p][id] + 1, l), crig[u][id]);
		res += T[id].query(1, 1, n, max(spos[u][id] + 1, l), dfn[p][id] - 1);
		if (son[u])
			res += T[id].query(1, 1, n, dfn[son[u]][id], dfn[son[u]][id]);
		res += T[id].query(1, 1, n, l, min(spos[u][id], dfn[p][id] - 1));
	}
}

inline pair<Atom, int> climb(int u, int tar, int id) {
	Atom ret = { 0, 0, 0, 0 };
	int p = 0;
	while (top[u] != top[tar]) {
		if (u != top[u]) {
			append(ret, u, p, id);
			ret += T[id].query(1, 1, n,
			                   crig[top[u]][id] + 1, clef[u][id] - 1);
			u = top[u];
			if (!id) {
				ret += T[0].query(1, 1, n, clef[u][0], crig[u][0]);
				ret += T[0].query(1, 1, n, dfn[u][0], dfn[u][0]);
			} else {
				ret += T[1].query(1, 1, n, dfn[u][1], dfn[u][1]);
				ret += T[1].query(1, 1, n, clef[u][1], crig[u][1]);
			}
		} else if (!id) {
			append(ret, u, p, 0);
			ret += T[0].query(1, 1, n, dfn[u][0], dfn[u][0]);
		} else {
			ret += T[1].query(1, 1, n, dfn[u][1], dfn[u][1]);
			append(ret, u, p, 1);
		}
		u = fa[p = u];
	}
	if (u != tar) {
		append(ret, u, p, id);
		ret += T[id].query(1, 1, n, clef[p = son[tar]][id], clef[u][id] - 1);
	}
	return { ret, p };
}

inline LL query(int u, int v) {
	int w = lca(u, v);
	auto su(climb(u, w, 1)), sv(climb(v, w, 0));
	auto ret(su.fi.rev());
	ret *= T[0].query(1, 1, n, dfn[w][0], dfn[w][0]);
	if (fa[w]) ret *= T[0].query(1, 1, n, dfn[fa[w]][0], dfn[fa[w]][0]);
	vector<pair<int, int> > tmp;
	if (su.se && su.se != son[w]) tmp.push_back({ dfn[su.se][0], 0 });
	if (sv.se && sv.se != son[w]) tmp.push_back({ dfn[sv.se][0], 0 });
	if (su.se != son[w] && sv.se != son[w]) tmp.push_back({ spos[w][0], 2 });
	tmp.push_back({ crig[w][0], 1 });
	sort(tmp.begin(), tmp.end());
	int las = clef[w][0] + (w != top[w]);
	for (auto& p : tmp) {
		ret *= T[0].query(1, 1, n, las, p.fi - !p.se);
		if (p.fi == spos[w][0] && p.se == 2) {
			ret = ret + T[0].query(1, 1, n, dfn[son[w]][0], dfn[son[w]][0]);
		}
		las = p.fi + 1;
	}
	ret *= sv.fi;
	return ret.amx;
}

signed main() {
	cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
	read(), n = read();
	For (i, 1, n) val[i] = read();
	For (i, 2, n) g[fa[i] = read()].push_back(i);
	dfs1(1);
	dfn[1][0] = dfc[0] = dfn[1][1] = dfc[1] = 1;
	dfs2(1, 1);
	For (i, 1, n) rnk[dfn[i][0]][0] = rnk[dfn[i][1]][1] = i;
	T[0].build(1, 1, n, 0), T[1].build(1, 1, n, 1);
	for (int q = read(), op, u, v, k; q--;) {
		op = read(), u = read(), v = read();
		if (!op) k = read(), mulity(u, v, k, 0), mulity(u, v, k, 1);
		else cout << query(u, v) << endl;
	}
	return 0;
}
posted @ 2025-05-17 19:37  酱云兔  阅读(65)  评论(2)    收藏  举报