基础数论学习笔记

1. 埃氏筛

埃氏筛是一种用于筛选素数的经典算法，通过标记素数的倍数来找出所有小于等于给定数n的素数。

1.1 算法流程

1. 初始化一个布尔数组is_prime，大小为n+1，初始全为true
2. 将is_prime[0]和is_prime[1]设为false（0和1不是素数）
3. 从2开始遍历到√n：
   • 如果is_prime[i]为true，则i是素数
   • 将i的所有倍数（从i²开始）标记为非素数（is_prime[j] = false）
4. 最后，所有is_prime[i]为true的i都是素数

时间复杂度：\(\mathcal{O}(n\log(\log n))\)。

1.2 代码

bool is_prime[N];
memset (is_prime, true, sizeof is_prime);
flag[0] = flag[1] = false;
for (int i = 2; i * i <= n; i++)
	if (flag[i])
		for (int j = i * i; j <= n; j += i)
			flag[j] = true;

1.3 例题

I. Sherlock and his girlfriend

给序列 \(2\sim n+1\) 染色，同时要求每个数和他的质因数的颜色不同。

首先注意到，为使所用颜色尽量少，则所有质数染同一种颜色。
所有质数当然可以染同一种颜色，我们可以令质数的颜色为 \(1\)，接下来考虑合数。由于质数已被染上 \(1\)，合数的质因子是质数，故合数只要不染 \(1\) 就可以，就让合数染上 \(2\) 就好了。

// Problem: CF776B Sherlock and his girlfriend
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/CF776B
// Memory Limit: 250 MB
// Time Limit: 1000 ms
//
// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)

/*
    author: Nimbunny
    powered by c++14
*/

#include <bits/stdc++.h>
#define endl '\n'
#define pi pair<int, int>

using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 1e5 + 10;
int n;
bool flag[N];

signed main() {
    cin.tie(nullptr)->sync_with_stdio(false);
    cin >> n;
    flag[0] = flag[1] = 1;
    for (int i = 2; i * i <= n + 1; i++)
        if (!flag[i])
            for (int j = i * i; j <= n + 1; j += i) flag[j] = 1;
    cout << (n < 3 ? "1" : "2") << endl;
    for (int i = 2; i <= n + 1; i++) cout << flag[i] + 1 << " ";
    return 0;
}

2. 欧拉筛（线性筛）

定义

欧拉筛是一种改进的素数筛选算法，可以线性时间复杂度O(n)内筛选出所有素数。

算法流程

1. 初始化一个布尔数组is_prime，大小为n+1，初始全为true
2. 初始化一个空数组primes存储素数
3. 从2遍历到n：
   • 如果is_prime[i]为true，将i加入primes数组
   • 对于每个素数primes[j]：
     • 如果i * primes[j] > n，跳出循环
     • 标记is_prime[i * primes[j]] = false
     • 如果i % primes[j] == 0，跳出循环（关键步骤）

时间复杂度

O(n)

优势

每个合数只被标记一次，效率更高

例题

用欧拉筛找出100以内的所有素数。

解答

• 初始化后，从2开始
• 2是素数，加入列表，标记4
• 3是素数，加入列表，标记6,9（3×3后跳出）
• 4不是素数，标记8（2×4后跳出，因为4%2==0）
• 继续这个过程直到100

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3. 积性函数

定义

积性函数是指对于互质的正整数a和b，满足f(ab)=f(a)f(b)的数论函数。

常见积性函数

• 欧拉函数φ(n)：小于n且与n互质的数的个数
• 莫比乌斯函数μ(n)
• 除数函数d(n)：n的正因数个数
• 约数和函数σ(n)：n的所有正因数之和

完全积性函数

对于任意a,b（不要求互质）都满足f(ab)=f(a)f(b)，如：

• 幂函数Idₖ(n)=nᵏ
• 单位函数ε(n)=[n==1]

性质

1. 若f是积性函数，且n=p₁ᵃ¹p₂ᵃ²...pₖᵃᵏ，则f(n)=f(p₁ᵃ¹)f(p₂ᵃ²)...f(pₖᵃᵏ)
2. 积性函数的狄利克雷卷积仍是积性函数

例题

证明欧拉函数φ(n)是积性函数。

解答

利用中国剩余定理可以证明：若gcd(a,b)=1，则φ(ab)=φ(a)φ(b)。因为对于模a和模b的剩余系，可以构造一个模ab的剩余系，保持互质性。

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4. 欧拉定理

定义

若a与n互质，则aᵠ⁽ⁿ⁾ ≡ 1 (mod n)，其中φ(n)是欧拉函数。

特殊情况（费马小定理）

当n为素数p时，φ(p)=p-1，所以aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)

应用

1. 计算大指数模运算
2. 寻找模逆元

例题

计算7¹⁰⁰ mod 13。

解答

因为13是素数，φ(13)=12
根据欧拉定理，7¹² ≡ 1 mod 13
100 = 8×12 + 4
所以7¹⁰⁰ = (7¹²)⁸ × 7⁴ ≡ 1⁸ × 7⁴ ≡ 7⁴ mod 13
计算7⁴=49²≡10²=100≡9 mod 13

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5. 扩展欧几里得算法（exgcd）

定义

扩展欧几里得算法不仅能计算gcd(a,b)，还能找到整数x,y使得ax+by=gcd(a,b)。

算法流程

基于递归：

1. 基础情况：当b=0时，gcd=a，x=1，y=0
2. 递归调用exgcd(b, a mod b)
3. 更新x和y：
   • x_new = y_prev
   • y_new = x_prev - (a/b)*y_prev

应用

1. 求解线性同余方程ax ≡ c (mod b)
2. 求模逆元

例题

求方程123x + 45y = 3的整数解。

解答

使用exgcd：

1. 先计算gcd(123,45)=3
2. 反向推导：
   • 3 = 123 - 2×45 - (45 - 3×13) = ...
   • 最终得到x=13, y=-36是一个特解
3. 通解为x=13 + 15k, y=-36 - 41k，k∈ℤ

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6. 中国剩余定理（CRT）

定义

中国剩余定理解决一组同余方程的问题：
x ≡ a₁ (mod m₁)
x ≡ a₂ (mod m₂)
...
x ≡ aₖ (mod mₖ)
其中m₁,m₂,...,mₖ两两互质

定理内容

存在唯一解x mod M，其中M=m₁m₂...mₖ

构造解的方法

1. 计算M = ∏mᵢ
2. 对每个i，计算Mᵢ = M/mᵢ
3. 找到yᵢ使得Mᵢyᵢ ≡ 1 (mod mᵢ)（使用exgcd）
4. 解为x ≡ ∑aᵢMᵢyᵢ (mod M)

应用

1. 大整数计算
2. 密码学
3. 并行计算

例题

解同余方程组：
x ≡ 2 mod 3
x ≡ 3 mod 5
x ≡ 2 mod 7

解答

1. M=3×5×7=105
2. 对于第一个方程：
   • M₁=35
   • 求y₁: 35y₁≡1 mod 3 ⇒ 2y₁≡1 ⇒ y₁=2
3. 类似求出y₂=1, y₃=1
4. x = 2×35×2 + 3×21×1 + 2×15×1 = 140+63+30=233 ≡ 23 mod 105
5. 解为x ≡ 23 mod 105

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这份笔记涵盖了数论中几个重要算法和定理的核心内容，包括定义、流程和例题。在实际编程实现时，需要注意边界条件和优化细节。