一个结论：钦定一个区间最终变成的颜色为这个区间的右端点颜色，是不劣的。（纯感觉出来的😅

Why?（写完之后又想了想

考虑数学归纳。

显然结论对于区间长度为 \(1\) 的成立。

对于 \([l,r]\) 如果结论成立，我们在 \(r+1\) 加入一个新颜色 \(a_j\)。

如果：

\(a_{j-1}=a_j\)，\([l,r+1]\) 肯定等于 \([l,r]\) 的最优解。
\(a_{j-1}\ne j_j\)，因为 \([l,r]\) 变成右端点是最优的，我们与其把 \(a_j\) 变成 \(a_{j-1}\)，不如直接把 \([l,r]\) 花费一次变成 \(a_j\)。

\(f_{i,j}\)：区间 \([i,j]\) 变成 \(a_j\) 颜色的答案。

暴力枚举断点还是 \(O(n^3)\) 的。

我们把 \(a_j\) 的所有位置拿出来，如果断点处于两个 \(a_j\) 之间，其实是不优于断点取在其中一个 \(a_j\) 上的。（因为我们显然把更多的无关元素堆在一起是更容易出最优解的。

又因为为每个元素出现次数不会超过 \(20\)，这样我们每次转移就是 \(O(20)\) 的了。

「ABC219H」Candles

和「BalticOI 2009 Day1」甲虫这道题是类似的，不同的是现在这道题算是加强版，每个位置的初始值由定值变成了变量。

但其实感觉本质是一样的。

用同样的做法，枚举有多少蜡烛是对答案产生贡献的，算减少的最少量。

但是实际上这是错的：WA 74pts

因为这里每个地方的蜡烛并不是等价的，对于一段区间我们可能并不会把她们全部选完。

Hack:

（这里的 5 1 就不会取，答案应该是 14

解决办法是，我们不枚举，而直接放在状态里面去 dp，这样就可以考虑到区间内有些没有贡献的点了。

具体的，我们定义 \(f_{i,j,k,0/1}\) 表示熄灭区间 \([i,j]\) 之后，还有 \(k\) 个蜡烛会对答案产生正向贡献，最后停在左边。右边。

「HAOI2016」字符合并

\(f_{i,j,s}\)：区间 \([i,j]\)，缩成了 \(s\) 的最优解。（\(s\in [0,2^{k-1}]\)。

状态数就已经了 \(10^7\) 了，发现转移需要 \(O(n)\)，GG 了。

想办法换一个更好的状态定义。

12min passed...

确实没有想到什么更好好刻画状态的定义方式了。

？？？状态定义就是这个？那我再想想转移。

哦！

有点愚蠢，填表法肯定可以做（但是我觉得不是很好想，之前还在想枚举断点来着😅），下面考虑刷表法。

我们钦定每次 \(s\) 的长度大于等于 \(k\) 之后就一定会合并起来（如果不合并的话，这种方案一定会被其她的 dp 算到。

从 \([l,r,s]\to [l,r+1,s+c]\)，\(c\) 是原串 \(r+1\) 位的值。现在就是 \(O(1)\) 转移了。

emmmmmm，我就说不对啊，肯定还是得枚举断点的，不然会 WA 5pts。

Hack x1:

（算 \(f_{1,4,*}\) 的时候要从 \(f_{1,2,0}\) 和 \(f_{3,4,0}\) 转移过来。

不行了，看题解去了。

？？？

枚举组成当前 st 末位的区间 \([l,j]\)，发现只有区间长度为 \(1,k,2k-1\dots\) 的合法，所以每次减 \(k-1\)，于是时间复杂度：\(O\left(n^2\left\lfloor \dfrac n{k-1}\right\rfloor 2^{k-1}\right)\)。

md，这不就是我一开始想的吗？？？什么精细实现。😥

算了一下确实好像不会超过 \(5\times 10^8\)。

「AGC062B」Split and Insert

我们重编号一下，可以变成初始任意排列，最后要求升序。

\(f_{i,j,k}\)：在前 \(k\) 次操作内将 \([i,j]\) 变成升序的最优解。

有转移：

\[f_{i,j,k}=\min_{l=i}^{j-1}(f_{i,j,k-1},f_{i,l,k-1}+f_{l+1,j,k-1}+(j-l)\times c_k) \]

然后 \(O(n^3k)\) 做完了？nb，这都有紫。

好像一开始是那个转化不太行。

问题不大，我们直接把 \(c_i\) reverse 一下也是同样的效果。

哦有点道理，我们 \(f_{i,j,k}\) 中的 \([i,j]\) 不能表示下标，而应该是值域。

这样算出来的贡献才是准确的。

「Gym 102798K」Tree Tweaking

我们对所有的区间取并集。

\[\sum dep_i=\sum siz_i \]

一点思路没有。

https://www.cnblogs.com/rainybunny/p/15164792.html

注意：这里较平常的笛卡尔树，是把「下标」和「值」交换了的。所以是「值」二叉搜索树，「下标」堆（其实这样才正好是题目的要求。

我们算的就是最小子树大小之和。

「AGC028D」Chords

圆上的两条连边相交当且仅当，这两条线的区间有交且不存在包含关系。

https://www.luogu.com.cn/article/gh1j0wpp

posted @ 2024-09-06 08:29 CloudWings 阅读(45) 评论(0) 收藏举报

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CloudWings

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【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」