【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day23 DP常⻅模型3「区间」
【题解】Solution Set - NOIP2024集训Day24 DP常⻅模型3「区间」
https://www.becoder.com.cn/contest/5511
「CF1572C」Paint
一个结论：钦定一个区间最终变成的颜色为这个区间的右端点颜色，是不劣的。（纯感觉出来的😅
Why?（写完之后又想了想
考虑数学归纳。
显然结论对于区间长度为 \(1\) 的成立。
对于 \([l,r]\) 如果结论成立，我们在 \(r+1\) 加入一个新颜色 \(a_j\)。
如果：
- \(a_{j-1}=a_j\)，\([l,r+1]\) 肯定等于 \([l,r]\) 的最优解。
- \(a_{j-1}\ne j_j\)，因为 \([l,r]\) 变成右端点是最优的，我们与其把 \(a_j\) 变成 \(a_{j-1}\)，不如直接把 \([l,r]\) 花费一次变成 \(a_j\)。
\(f_{i,j}\)：区间 \([i,j]\) 变成 \(a_j\) 颜色的答案。
暴力枚举断点还是 \(O(n^3)\) 的。
我们把 \(a_j\) 的所有位置拿出来，如果断点处于两个 \(a_j\) 之间，其实是不优于断点取在其中一个 \(a_j\) 上的。（因为我们显然把更多的无关元素堆在一起是更容易出最优解的。
又因为为每个元素出现次数不会超过 \(20\)，这样我们每次转移就是 \(O(20)\) 的了。
「ABC219H」Candles
和 「BalticOI 2009 Day1」甲虫 这道题是类似的，不同的是现在这道题算是加强版，每个位置的初始值由定值变成了变量。
但其实感觉本质是一样的。
用同样的做法，枚举有多少蜡烛是对答案产生贡献的，算减少的最少量。
但是实际上这是错的：WA 74pts
因为这里每个地方的蜡烛并不是等价的，对于一段区间我们可能并不会把她们全部选完。
Hack:
3
1 5
5 1
10 20
（这里的 5 1 就不会取，答案应该是 14
解决办法是，我们不枚举，而直接放在状态里面去 dp，这样就可以考虑到区间内有些没有贡献的点了。
具体的，我们定义 \(f_{i,j,k,0/1}\) 表示熄灭区间 \([i,j]\) 之后，还有 \(k\) 个蜡烛会对答案产生正向贡献，最后停在左边。右边。
「HAOI2016」字符合并
\(f_{i,j,s}\)：区间 \([i,j]\)，缩成了 \(s\) 的最优解。（\(s\in [0,2^{k-1}]\)。
状态数就已经了 \(10^7\) 了，发现转移需要 \(O(n)\)，GG 了。
想办法换一个更好的状态定义。
12min passed...
确实没有想到什么更好好刻画状态的定义方式了。
？？？状态定义就是这个？那我再想想转移。
哦！
有点愚蠢，填表法肯定可以做（但是我觉得不是很好想，之前还在想枚举断点来着😅），下面考虑刷表法。
我们钦定每次 \(s\) 的长度大于等于 \(k\) 之后就一定会合并起来（如果不合并的话，这种方案一定会被其她的 dp 算到。
从 \([l,r,s]\to [l,r+1,s+c]\)，\(c\) 是原串 \(r+1\) 位的值。现在就是 \(O(1)\) 转移了。
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