【笔记】圆方树

【笔记】圆方树

1 定义

仙人掌： 所有边都至多被包含在一个环中。

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2 构建

给一个点和它所在的所在的所有点双连边，同时，我们定义方点为虚点（即表示点双的点），圆点为原图上的点。

注意，是所有点双，所以一个割点会连向多个点双。同时，由定义得，该图有且仅有圆方边，因为圆圆边可以继续缩点。

既然是点双，那么我们就用 tarjan 实现即可。同时，在图不连通的时候，构成的是圆方森林，此时每一个连通子图就是一个圆方树，所以我们就考虑原图的连通子图即可。

然后呢，类似地，我们可以像求强联通分量一样，选择一个代表结点，作为此时的代表结点。对于这个点双连通分量的缩点，我们可以容易发现此时 u 即为这个点双联通分量的代表点，并且 u 和 v 属于同一个点双联通分量。

2.1 广义

广义圆方树的一个性质：所有的圆点的父亲一定是方点。

void tarjan (int u) {
	st.push(u), low[u] = dfn[u] = ++_dfn;
	for (int v : G[u])
		if (!dfn[v]) {
			tarjan(v);
			low[u] = min(low[u], low[v]);
			if (low[v] >= dfn[u]) {
				++_id; static int t;
				while (t != v)  // 这个地方 do-while 或 while 都可
					t = st.top(), st.pop(),
					tr[_id].push_back(t),
					tr[t].push_back(_id);
				tr[_id].push_back(u),
				tr[u].push_back(_id);
			}
		} else
			low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}

2.2 狭义

3 应用 - 原方树上 DP