二叉搜索树

\(Write-by-尹以豪\)

二叉搜索树的介绍

二叉搜索（Binary Search Tree, BST）是一棵具有特殊性质的二叉树。又可以叫二叉排序树。

二叉搜索树的性质

• 对于节点 \(x\) ，左子树全部节点的权值均比 \(x\) 的权值小。
• 对于节点 \(x\) ，右子树全部节点的权值均比 \(x\) 的权值大。

二叉搜索树的各种操作

二叉搜索树的插入

构建一颗二叉搜索树，就是根据二叉搜索树的性质，不断向二叉搜索树插入的过程。

我们再回顾刚刚二叉搜索树的性质，我们可以很容易就想到解决方法，用变量 \(p\) 表示我们当前正在考虑的节点。很容易根据节点 \(p\) 对应的值，确定需要插入的数应该在左子树还是应该在右子树，并递归处理。直到节点 \(p\) 为空时，在对应节点位置插入。

二叉搜索树的查询

在二叉搜索树中查找权值为 𝑣𝑎𝑙 的结点。
二叉搜索树的性质：

• 对于结点 \(x\)，左子树全部结点的权值均比 𝑥 的权值小
• 对于结点 \(x\)，右子树全部结点的权值均比 𝑥 的权值大

用变量 \(p\) 表示当前遍历到 \(p\) 号结点。

• 若结点 \(p\) 为空节点，返回 \(\tt Error\)
• 若结点 \(p\) 的权值即为 \(val\) ，返回 \(p\)
• 若结点 \(p\) 的权值小于 \(val\) ，递归到 \(p\) 的左子树查找
• 若结点 \(p\) 的权值大于 \(val\) ，递归到 \(p\) 的右子树查找

二叉搜索树的删除 (重难点)

从二叉搜索树中删去权值为 \(val\) 的结点。
核心 ：保持二叉搜索树的性质
二叉搜索树的性质：

• 对于结点 \(x\) ，左子树全部结点的权值均比 \(x\) 的权值小
• 对于结点 \(x\)，右子树全部结点的权值均比 \(x\) 的权值大

首先，需要找到权值为 \(val\) 的结点，与前面的查找过程相同，记这个结点为 \(p\)。

除了被删除结点 \(p\) 以外，还需要处理以下结点的信息：

• \(p\) 的父节点
• \(p\) 的子节点

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结点 \(p\) 共有几种情况：

• 结点 \(p\) 有 \(0\) 个子节点（叶结点）
  直接删去即可，将其父结点对应的子结点置空。

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• 结点 \(p\) 有 \(1\) 个子节点
  直接将子节点链接到 𝑝 的父节点，作为同位子树。

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• 结点 \(p\) 有 \(2\) 个子节点
  一般使用左儿子的最大值（或右儿子的最小值）来替代结点 \(p\) 。左儿子的最大值，即左子树中最靠右的叶结点右儿子的最小值，即右子树中最靠左的叶结点删去对应的叶结点，将 \(p\) 的权值修改为左子树的最大值 \(\tt or\) 右子树的最小值。