必修一数学——不等式（石）
必修一数学不等式复习
不等式就是神人题。会做就是一眼秒，不会做卡半个小时也没有思路。所以对不等式和神秘结论与性质做了一个梳理。
深刻理解，完全相信。
一、不等式的基本概念与性质
1. 定义
- 不等式：用不等号（\(>,<,\geq,\leq,\neq\)）连接两个代数式所成的式子。
- 不等式的解：使不等式成立的未知数的取值范围。
- 解集：不等式所有解组成的集合。
2. 基本性质
其实大多数所谓基本性质都是常识内容了。
对称性：
传递性：
可加性：
可乘性：
- $ a > b \ \text{且} \ c > 0 \Rightarrow ac > bc $
- $ a > b \ \text{且} \ c < 0 \Rightarrow ac < bc $
这是尤其要小心的一点，在解不等式的时候涉及到乘除就一定要注意符号。
但是可加性与符号无关。
同向不等式相加：
同向正数不等式相乘：
与可乘性一样要注意使用条件。
乘方性：
这一点在学识幂函数之后会发现只要满足 \(n>0\) 就能使用了。
二、关于一元二次不等式
1.一般形式
2. 解法
教材方法是这么写的：
- 计算判别式：$ \Delta = b^2 - 4ac $。
- 求对应方程的根：解 $ ax^2 + bx + c = 0 $。
- 根据 $ a $ 和 $ \Delta $ 画出函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的草图。
- 写出解集。
但是所谓教材就是众生平等，放出来的是所有人都能理解的，因此不会有真正高效的好方法。
下面说一个我喜欢一点的方法：
- 看一下开口方向。
- 因式分解求出零点，也就是临界值。
- 画图。当然如果熟悉了也可以想象一下图像就直接结束。
反正这里还没上难度，也不多说什么了。
3. 实根分布
对于 $ ax^2 + bx + c > 0 \ (a > 0) $：
| 判别式 $ \Delta $ | 方程 $ ax^2 + bx + c = 0 $ 的根 | 不等式 $ ax^2 + bx + c > 0 $ 的解集 | 不等式 $ ax^2 + bx + c < 0 $ 的解集 |
|---|---|---|---|
| $ \Delta > 0 $ | 有两相异实根 $ x_1, x_2 \ (x_1 < x_2) $ | $ (-\infty, x_1) \cup (x_2, +\infty) $ | $ (x_1, x_2) $ |
| $ \Delta = 0 $ | 有两相等实根 $ x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} $ | $ (-\infty, x_1) \cup (x_1, +\infty) $ | $ \varnothing $ |
| $ \Delta < 0 $ | 无实根 | $ \mathbb{R} $ | $ \varnothing $ |
Tips：
- 若 $ a < 0 $，可先乘以 \(-1\) 化为 $ a > 0 $ 的情形，注意不等号方向改变。
- 如果遇到小于等于，大于等于这样带等号的，尤其要注意是开区间还是闭区间。
三、关于分式不等式
1. 基本形式
2. 解法（转化为整式不等式）
原理：$ \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0 $
一般解法：
- 移项，使不等式右边为 $ 0 $。
- 通分，转化为上面的基本形式。
- 化为整式不等式（注意分母不为零的条件）：
- $ \frac{f(x)}{g(x)} > 0 \iff f(x) \cdot g(x) > 0 $
- $ \frac{f(x)}{g(x)} < 0 \iff f(x) \cdot g(x) < 0 $
- $ \frac{f(x)}{g(x)} \geq 0 \iff f(x) \cdot g(x) \geq 0$
- $ \frac{f(x)}{g(x)} \leq 0 \iff f(x) \cdot g(x) \leq 0$
- 解整式不等式，最后检验分母不为零。
Tips：不能直接去分母，要注意分母的符号之后再去分母。
四、绝对值不等式
1. 绝对值的基本性质
- $ |x| \geq 0 $
- $ |x| = 0 \iff x = 0 $
- $ |x| = |-x| $
- $ |x| = \sqrt{x^2} $
- $ |xy| = |x| \cdot |y| $
- $ \left| \frac{x}{y} \right| = \frac{|x|}{|y|} \ (y \neq 0) $
2. 绝对值不等式的基本解法
(1) 基本形式及解法
- $ |x| < a \ (a > 0) \iff -a < x < a $
- $ |x| > a \ (a > 0) \iff x < -a \ \text{或} \ x > a $
- $ |x| \leq a \ (a > 0) \iff -a \leq x \leq a $
- $ |x| \geq a \ (a > 0) \iff x \leq -a \ \text{或} \ x \geq a $
(2) $ |f(x)| < g(x) $ 型
(3) $ |f(x)| > g(x) $ 型
3. 绝对值不等式的性质
-
三角不等式：
\[|a| - |b| \leq |a \pm b| \leq |a| + |b| \] -
重要推论：
- $ |a + b| \geq |a| - |b| $
- $ |a - b| \geq |a| - |b| $
- $ |a + b| \leq |a| + |b| $
- $ |a - b| \leq |a| + |b| $
五、基本不等式（均值不等式）及其推广
1. 基本不等式
定理 1（重要不等式）：对于任意实数 $ a, b $，有
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。
定理 2（基本不等式）：如果 $ a > 0, b > 0 $，那么
当且仅当 $ a = b $ 时等号成立。
2. 常用变形与推广
- $ a + b \geq 2\sqrt{ab} \ (a, b > 0) $
- $ ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 \ (a, b > 0) $
- $ a^2 + b^2 \geq \frac{(a + b)^2}{2} \ (a, b \in \mathbb{R}) $
- $ \frac{b}{a} + \frac{a}{b} \geq 2 \ (ab > 0) $
3. 均值不等式链
对于 $ a_1, a_2, ..., a_n > 0 $：
简记为：调和平均值 \(\leq\) 几何平均值 \(\leq\) 算术平均值 \(\leq\) 平方平均值。
二元形式：
4. 柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）
二维形式：
当且仅当 \(\frac{a}{c} = \frac{b}{d}\) 或 \(c=d=0\) 时等号成立。
向量形式：
其中 \(\vec{\alpha} = (a, b),\vec{\beta} = (c, d)\)。
一般形式：
即
当且仅当 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}(b_i \neq 0)\) 或 \(\forall b_i = 0\) 时等号成立。
Tips：柯西不等式常用于求平方和与乘积和的关系。
关于柯西不等式的证明，向量证法固然简洁，但是这里给出一个构造二次函数的方法，可以当做一个小 trick 或许哪天派上用场了呢。
这是初高衔接的强基课里讲过的一个东西。
设 \(f(x) = \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{(a_i x + b_i)^2}\)，显然 \(f(x)\) 恒不小于 \(0\)。
展开得：
因为二次项系数 \(\displaystyle\sum^{n}_{i=1}{a_i^2}\) 非负，同时满足 \(f(x)\) 的图象一直不会处于 \(x\) 轴下方，因此该一元二次函数对应的一元二次方程不存在实数根或存在两个相等的实数根。显然对于后者是取等条件。考虑计算对应的一元二次方程的判别式 \(\Delta\)，并且要使得 \(\Delta \leq 0\)。
肉眼可见我们可以约去一个 \(4\)，然后：
从而回到最初形式：
从而得证。
取等条件：
-
向量证法
须使向量的方向在同一直线上，因此 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}(b_i \neq 0)\) 或 \(\forall b_i = 0\)时等号成立。
-
函数证法
我直接回到第一步：
设 \(f(x) = \displaystyle \sum^{n}_{i=1}{(a_i x + b_i)^2}\)，显然 \(f(x)\) 恒不小于 \(0\)。
因此对于每一个 \(a_i x + b_i\)，令之为 \(0\) 即可。但是我们的 \(x\) 在这 \(i\) 个不等式中是一样的，故设 \(x=x_0\) 时 \(\forall a_i x_0 + b_i=0\)。进而：
\[a_i x_0 = -b_i \]若 \(b_i = 0\) 对于所有的 \(i\) 都成立，显然是可行的。若 \(\exist b_i \neq 0\)，则上式写成比例形式为：
\[\frac{a_i}{b_i}=-\frac{1}{x_0} \]因此取等条件是 \(\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n}(b_i \neq 0)\) 或 \(\forall b_i = 0\)。
这个证明我认为比用向量证法要可爱一些，而且这个思路也有一定的启发意义，还是值得一看的。
5. 权方和不等式（Holder 不等式的特例）
基本形式：若 $ a_i, b_i > 0 \ (i = 1, 2, ..., n) , m > 1 $，则
即
当且仅当 $ \frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \cdots = \frac{a_n}{b_n} $ 时等号成立。
常用特例（$ m = 1 $）：
即
这是权方和不等式最常用的形式，称为 柯西不等式的分式形式 或 Titu引理。
Tips：权方和不等式特别适用于分式型求和的最值问题。证明方法可以通过柯西不等式得出，这里不写了。
6. 应用基本不等式求最值
原理：
- 利用 $ a + b \geq 2\sqrt{ab} $ 求和的最小值（积定）。
- 利用 $ ab \leq \left( \frac{a + b}{2} \right)^2 $ 求积的最大值（和定）。
- 一般来说，只要基本不等式链（见上文）中的任意一项为定值那么基本不等式链或许就可以推出许多有用的结论。
条件（三要素）：
- 一正：各项为正数。
- 二定：和或积为定值。
- 三相等：等号成立的条件存在。
常见模型：
- 和定积最大：若 $ a + b = S $（定值），则 $ ab \leq \left( \frac{S}{2} \right)^2 $，当 $ a = b = \frac{S}{2} $ 时取最大值。
- 积定和最小：若 $ ab = P $（定值），则 $ a + b \geq 2\sqrt{P} $，当 $ a = b = \sqrt{P} $ 时取最小值。
六、含参不等式的解法
1. 分类讨论的基本思想
- 根据参数的取值范围不同，不等式的解集也不同。
- 分类要做到不重不漏。
- 讨论的常见依据：二次项系数、判别式、根的大小关系等。
2. 含参一元二次不等式的分类讨论
对于 $ ax^2 + bx + c > 0 $：
-
讨论 $ a $：
- $ a = 0 $：降次为一次不等式。
- $ a > 0 $：抛物线开口向上，按标准情况讨论。
- $ a < 0 $：两边乘以 \(-1\)，化为 $ a > 0 $ 的情况（注意不等号方向改变）。
-
讨论 $ \Delta $：
- $ \Delta > 0 $：有两不等实根 $ x_1, x_2 $，需进一步比较根的大小。
- $ \Delta = 0 $：有两相等实根。
- $ \Delta < 0 $：无实根。
-
讨论根的大小（当 $ \Delta > 0 $ 时）。
3. 含参绝对值不等式的讨论
看到绝对值，要么是找零点拆铺，要么是画图象正攻。
不过总之是要格外警惕就是了。
七、不等式证明的基本方法
1. 比较法
-
作差法：$ a - b > 0 \iff a > b $
步骤：作差 → 变形 → 判断符号。 -
作商法：$ \frac{a}{b} > 1 \ (b > 0) \iff a > b $
步骤：作商 → 变形 → 判断与 $ 1 $ 的大小。
2. 综合法（数据删除）
从已知条件出发，利用不等式的性质，推导出要证明的不等式。
3. 分析法（数据删除）
从要证明的不等式出发，逐步寻找使不等式成立的充分条件，直到找到一个明显成立的不等式。
4. 反证法
假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立。
5. 放缩法
适当放大或缩小表达式，使问题简化。注意其他方法都用不了的时候，一定要想一想放缩，特别是条件涉及到整性的。
常用技巧：
- 舍掉或加进一些项。
- 放大或缩小分子、分母。
- 应用基本不等式。
- 应用函数的单调性。
八、典题
省流：这一段的过程都是 DeepSeek 写的。有些神题在以后整理的时候放，现在塞一点注意格式的水题。
例题 1：一元二次不等式
解不等式：$ x^2 - 5x + 6 < 0 $
解：
- 对应方程：$ x^2 - 5x + 6 = 0 $。
- 解得：$ x_1 = 2 \(，\) x_2 = 3 $。
- 由于 $ a = 1 > 0 $，抛物线开口向上。
- 不等式 $ < 0 $，取两根之间。
- 解集：$ (2, 3) $。
例题 2：分式不等式
解不等式：$ \frac{x - 1}{x + 2} \geq 0 $
解：
- 化为整式不等式：$ (x - 1)(x + 2) \geq 0 $ 且 $ x + 2 \neq 0 $。
- 解 $ (x - 1)(x + 2) \geq 0 $：
- 方程 $ (x - 1)(x + 2) = 0 $ 的根：$ x_1 = -2 \(，\) x_2 = 1 $。
- 解集：$ (-\infty, -2] \cup [1, +\infty) $。
- 考虑分母不为零：$ x \neq -2 $。
- 最终解集：$ (-\infty, -2) \cup [1, +\infty) $。
例题 3：绝对值不等式
解不等式：$ |2x - 1| < 3 $
解：
- 根据 $ |x| < a $ 型解法：$ -3 < 2x - 1 < 3 $。
- 各部分加 \(1\) 得：$ -2 < 2x < 4 $。
- 除以 \(2\) 得：$ -1 < x < 2 $。
- 解集：$ (-1, 2) $。
例题 4：基本不等式应用
已知 $ x > 0 $，求 $ y = x + \frac{1}{x} $ 的最小值。
解：
- $ x > 0 $，满足“一正”。
- $ x \cdot \frac{1}{x} = 1 $（积为定值），满足“二定”。
- 应用基本不等式：\[y = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2 \]
- 当且仅当 $ x = \frac{1}{x} $，即 $ x = 1 $ 时取等号。
- 最小值为 $ 2 $。
例题 5：柯西不等式应用
已知 $ x^2 + y^2 = 1 $，求 $ 2x + 3y $ 的最大值。
解：
- 由柯西不等式：\[(2x + 3y)^2 \leq (2^2 + 3^2)(x^2 + y^2) = 13 \times 1 = 13 \]
- 所以 $ 2x + 3y \leq \sqrt{13} $。
- 当且仅当 $ \frac{x}{2} = \frac{y}{3} $ 且 $ x^2 + y^2 = 1 $ 时取等号，可解得 $ x = \frac{2}{\sqrt{13}}, y = \frac{3}{\sqrt{13}} $，在 \(x,y\) 的取值范围内。
- 最大值为 $ \sqrt{13} $。
另外就是这个题显然可以当三角换元做。三角换元之后用辅助角公式，也是一个神人方法。
例题 6：权方和不等式应用
已知 $ a, b, c > 0 $，且 $ a + b + c = 1 $，求 $ \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} $ 的最小值。
解：
- 应用权方和不等式（$ m = 1 $ 的特例）：\[\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq \frac{(a + b + c)^2}{b + c + a} = \frac{1^2}{1} = 1 \]
- 当且仅当 $ \frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a} $，即 $ a = b = c = \frac{1}{3} $ 时取等号。
- 最小值为 $ 1 $。
例题 7：含参不等式
解关于 $ x $ 的不等式：$ ax^2 - (a + 1)x + 1 < 0 $
解：
-
当 $ a = 0 $ 时：$ -x + 1 < 0 \Rightarrow x > 1 $。
-
当 $ a \neq 0 $ 时：
- 分解因式：$ (ax - 1)(x - 1) < 0 $。
- 方程 $ (ax - 1)(x - 1) = 0 $ 的根：$ x_1 = \frac{1}{a},x_2 = 1 $。
讨论：
- 当 $ a > 1 $ 时：$ \frac{1}{a} < 1 $，解得 $ \left( \frac{1}{a}, 1 \right) $。
- 当 $ a = 1 $ 时：$ (x - 1)^2 < 0 $，解得 $ \varnothing $。
- 当 $ 0 < a < 1 $ 时：$ \frac{1}{a} > 1 $，解得 $ \left( 1, \frac{1}{a} \right) $。
- 当 $ a < 0 $ 时：$ \frac{1}{a} < 0 < 1 $，解得 $ \left( -\infty, \frac{1}{a} \right) \cup (1, +\infty) $。
尾声：
不等式是高中数学的重要工具，贯穿于函数、数列、解析几何等多个章节。扎实掌握本章内容，对后续学习大有裨益。建议多做练习，总结各类题型的解题规律。
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