题解：P1359 租用游艇

这边是题目传送门喵！

思路

橙题的难度不大，因此本题解主要梳理不同思路。

1. 由于本题要求的是最短路，那么可以从最短路的角度分析：

   • 本题要求的是点 \(1\) 到 \(n\) 的最短路距离，因此不难想到用单源最短路的模板写过去。当然这里可以写 Dijkstra 也可以写 SPFA 因为毕竟是橙题，数据强度不高。

     一般情况下如果没有负边权就写 Dijkstra 而 SPFA 只在有负边权的时候写。这两种算法可以见此题。

   • 注意到数据范围中的 \(1 \leq N \leq 200\)，因此可以直接用 Floyd 跑过去。关于 Floyd 的详细信息详见此题。

   • 最短路的几种写法都是直接套的模版，代码比较长，这里就不贴出来了。不过我们学习 OI 的时候始终讲求优化算法，同样对于本题也有更容易的算法。

2. 直接推动态规划的转移方程式。

   • 逆向思维。从 \(n\) 倒推，用 \(f_i\) 存储 \(i\) 到 \(n\) 的距离。边界条件为 \(f_n=0\)。那么显然从 \(n-1\) 遍历到 \(1\)，每次的路径都是 \(i \rightarrow j (i<j<n) \rightarrow n\)。由于我们遍历的顺序，我们已知 \(j \rightarrow n\) 这一段的路程。因此转移方程式为：

     \[f_i=min^{j=i+1}_{j<n}(r_{i,j} + f_j) \]

     然后做完了。

       #include<bits/stdc++.h>
       #define ll long long
       #define ios ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
       using namespace std;
       const int N=205;
       const int inf=1e9;
       int n,r[N][N],f[N];
       signed main(){
       	ios;cin>>n;
           for(int i=1;i<=n;i++){
       		f[i]=inf; // 设为无穷大
           }
           f[n]=0;
       	for(int i=1;i<n;i++){
       		for(int j=i+1;j<=n;j++){
       			cin>>r[i][j];
                   r[j][i]=r[i][j];
       		}
       	}
       	for(int i=n-1;i>=1;i--){
       		for(int j=i+1;j<=n;j++){
       			f[i]=min(f[i],f[j]+r[i][j]);
       		}
       	}
       	cout<<f[1]<<'\n';	
           return 0;
       }
     

   • 考虑从 Floyd 中优化掉一维。用 \(f_i\) 存储 \(1\) 到 \(i\) 的距离。边界条件为 \(f_1=0\)。每次固定 \(i\) 后遍历 \(1\) 到 \(i-1\) 间的点进行松弛操作，也就是：

     \[f_i=min^{j=1}_{j<i}(f_j + r_{j,i}) \]

     其中，由于道路双向可达，\(r_{i,j} = r_{j,i}\)。然后做完了。

     #include<bits/stdc++.h>
     #define ll long long
     #define ios ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0)
     using namespace std;
     const int N=205;
     const int inf=1e9;
     int n,r[205][205],f[205];
     signed main(){
     	ios;cin>>n;
         for(int i=1;i<=n;i++){
     		f[i]=inf; // 设为无穷大
         }
         f[1]=0;
     	for(int i=1;i<n;i++){
     		for(int j=i+1;j<=n;j++){
     			cin>>r[i][j];
                 r[j][i]=r[i][j];
     		}
     	}
     	for(int i=1;i<=n;i++){
     		for(int j=1;j<i;j++){
     			f[i]=min(f[i],f[j]+r[i][j]);
     		}
     	}
     	cout<<f[n]<<'\n';	
         return 0;
     }
     

写了这么多，这题的多种思路梳理也就结束了。

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