必修一数学——集合全家桶

必修一数学——集合全家桶

一、集合的基本概念

1. 集合的定义

  • 集合：把一些确定的不同对象看成一个整体，这个整体就叫作集合（简称集）。
  • 元素：集合中的每个对象叫作这个集合的元素。
  • 特性：确定性、互异性、无序性。

2. 元素与集合的关系

  • 属于：如果 $ a $ 是集合 $ A $ 的元素，就说 $ a $ 属于 $ A $，记作 $ a \in A $。
  • 不属于：如果 $ a $ 不是集合 $ A $ 的元素，就说 $ a $ 不属于 $ A $，记作 $ a \not \in A $。

3. 常用数集及其符号

数集名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号表示 $ \mathbb{N} $ $ \mathbb{N}^* $ 或 $ \mathbb{N}_+ $ $ \mathbb{Z} $ $ \mathbb{Q} $ $ \mathbb{R} $

Tips：

  1. 自然数集 $ \mathbb{N} $ 包含 $ 0 $；
  2. 正整数集的两种表示方法中，\(^*\) 是上标，\(_+\) 是下标。

二、集合的表示方法

1. 列举法

把集合的元素一一列举出来，并用花括号 \(\{ \ \cdots \}\) 括起来表示集合的方法。

格式：

\[A = \{a_1, a_2, a_3, ..., a_n\} \]

示例：

  • 小于 5 的自然数集合：\(\{ 0, 1, 2, 3, 4 \}\)
  • 方程 $ x^2 - 1 = 0 $ 的解集：\(\{-1, 1\}\)

2. 描述法

用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。

格式：

\[A = \{x \in I \mid P(x)\} \]

其中 $ x $ 是集合的代表元素，$ I $ 是 $ x $ 的取值范围，$ P(x) $ 是元素 $ x $ 满足的条件。

备注：当 \(P(x)\) 能够体现 $ x $ 的取值范围时可以省略 $ I $。一般 \(x \in \mathbb{R}\) 时都能省略。

示例：

  • 不等式 $ x - 3 > 2 $ 的解集：\(\{x \in \mathbb{R} \mid x > 5\}\)
    省略后的写法是 \(\{x \mid x > 5\}\)
  • 偶数集合：\(\{x \in \mathbb{Z} \mid x = 2k, k \in \mathbb{Z}\}\)

Tips：

  1. 要注意集合的元素究竟是什么。如 \(\{ x \mid y=log_2 x \}\) 指的就是 \(x\) 的范围，等同于 \(\{ x \mid x > 0 \}\)，而不是指 \(y\) 的范围。表明元素的部分是描述法表示的集合竖线“ $ \mid $ ”前面的部分；
  2. 集合不一定就是数集。集合的元素还可以是角度、点、模型等等，甚至可以是集合。

3. 图示法（Venn 图，韦恩图）

用一条封闭曲线的内部表示一个集合，主要用于直观表示集合间的关系。

不难发现用 Venn 图来理解逻辑关系相当直观方便。

三、集合间的基本关系

1. 子集

定义：如果集合 $ A $ 的任意一个元素都是集合 $ B $ 的元素，则称集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的子集。

记法：$ A \subseteq B $（或 $ B \supseteq A $）

读作：$ A $ 包含于 $ B $（或 $ B $ 包含 $ A $）

性质：

  1. 任何集合是它自身的子集：$ A \subseteq A $
  2. 空集是任何集合的子集

2. 真子集

定义：如果集合 $ A \subseteq B $，但存在元素 $ x \in B $ 且 $ x \not \in A $，则称集合 $ A $ 是集合 $ B $ 的真子集。

记法：$ A \subsetneqq B $（或 $ B \supsetneqq A $）

读作：$ A $ 真包含于 $ B $（或 $ B $ 真包含 $ A $）

备注：一般时候表示集合时不用括号内的符号，以保持格式更加规范。虽然怎么写都不算错就是了喵。

3. 集合相等

如果 $ A \subseteq B $ 且 $ B \subseteq A $，则称集合 $ A $ 与 $ B $ 相等。

记法：$ A = B $

判断方法：两个集合的元素完全相同。
这句话背后的意味可以说是有两点：一是两个集合元素个数相等，二是其中一个集合的每一个元素都能在另一个集合中找到对应。

4. 空集

不含任何元素的集合叫作空集，记作 $ \varnothing $。

性质：

  • $ \varnothing \subseteq \varnothing $ 且 $ \varnothing = \varnothing $（这是一句重要的废话）。
  • 对于任意集合 $ A $，有 $ \varnothing \subseteq A $ 成立。
  • 对于任意非空集合 $ A $，有 $ \varnothing \subsetneqq A $ 成立。

由于后面两个性质，我们面对某些问题时，就要增加基于集合是否为空集的分类讨论环节。针对这一点我会在后面塞一个例题。

四、集合的基本运算

1. 并集

由所有属于集合 $ A $ 或属于集合 $ B $ 的元素组成的集合，叫作 $ A $ 与 $ B $ 的并集。

记法：$ A \cup B $

意义：“或”。用代码理解一下：

bool A, B;
bool ans = A || B;

符号表示：$ A \cup B =$ \(\{x \mid x \in A \text{ 或 } x \in B\}\)

用形式逻辑的符号可表示为“析取”：$ A \cup B =$ \(\{x \mid x \in A \vee x \in B\}\)

Venn 图：两个圆合并在一起的区域。

性质：

  • $ A \cup A = A $（幂等律）
  • $ A \cup \varnothing = A $
  • $ A \cup B = B \cup A $（交换律）
  • $ A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C $（结合律）

2. 交集

由所有属于集合 $ A $ 且属于集合 $ B $ 的元素组成的集合，叫作 $ A $ 与 $ B $ 的交集。

记法：$ A \cap B $

意义：“且”。还是用代码理解一下：

bool A, B;
bool ans = A && B;

符号表示：$ A \cap B =$ \(\{x \mid x \in A \text{ 且 } x \in B\}\)

用形式逻辑的符号可表示为“合取”：$ A \cap B =$ \(\{x \mid x \in A \wedge x \in B\}\)

Venn 图：两个圆重叠的区域。

性质：

  • $ A \cap A = A $（幂等律）
  • $ A \cap \varnothing = \varnothing $
  • $ A \cap B = B \cap A $（交换律）
  • $ A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C $（结合律）
  • $ A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) $（分配律）

3. 补集（全集与补集）

  • 全集：研究问题时所涉及的所有元素组成的集合，通常记作 $ U $。
  • 补集：由全集 $ U $ 中不属于集合 $ A $ 的所有元素组成的集合，叫作集合 $ A $ 相对于全集 $ U $ 的补集。

记法：$ \complement_U A $。

意义：“非 \(A\)”。依旧用代码理解一下：

bool A;
bool ans = !A;

符号表示：$ \complement_U A =$ \(\{x \in U \mid x \not \in A\}\)

用形式逻辑的符号可表示为“否定”。这里就不打公式了。

Venn 图：矩形（全集）中除集合 $ A $ 以外的区域。

性质：

  • $ A \cup \complement_U A = U $
  • $ A \cap \complement_U A = \varnothing $
  • $ \complement_U (\complement_U A) = A $
  • $ \complement_U \varnothing = U $
  • $ \complement_U U = \varnothing $

4. 德·摩根定律（重要）

  1. 并集的补集等于补集的交集：

    \[\complement_U (A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B \]

  2. 交集的补集等于补集的并集：

    \[\complement_U (A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B \]

Tips：

  1. 显然所有性质都可以通过 Venn 图轻而易举的证明；

五、集合中元素的个数

1. 有限集元素个数的表示

用 $ \text{card}(A) $ 或 $ |A| $ 表示有限集合 $ A $ 中元素的个数。

2. 容斥原理（两个集合）

对于任意两个有限集合 $ A $ 和 $ B $：

\[\text{card}(A \cup B) = \text{card}(A) + \text{card}(B) - \text{card}(A \cap B) \]

3. 容斥原理（三个集合）

对于任意三个有限集合 $ A $ 、$ B $ 和 $ C $：

\[\begin{aligned} \text{card}(A \cup B \cup C) &= \text{card}(A) + \text{card}(B) + \text{card}(C) \\ &- \text{card}(A \cap B) - \text{card}(B \cap C) - \text{card}(A \cap C) \\ &+ \text{card}(A \cap B \cap C) \end{aligned} \]

对于更多个集合的容斥原理，可以使用归纳法证明。

4. 有限集的子集个数

对于含有 $ n $ 个元素的有限集 $ A $：

  • 子集个数：$ 2^n $
  • 真子集个数：$ 2^n - 1 $
  • 非空子集个数：$ 2^n - 1 $
  • 非空真子集个数：$ 2^n - 2 $

结论证明：由排列组合证明。对于每一个元素，有选和不选两种情况。由乘法原理，对于 $ n $ 个元素就有 $ 2^n $ 种子集。再对于真子集与非空的条件进行特判即可。

六、常用结论、易错点补充

1. 元素与集合、集合与集合的关系辨析

关系类型 符号 示例
元素与集合 $ \in $ 或 $ \not \in $ $ 1 \in \mathbb{N} $, $ \frac {3} {2} \not \in \mathbb{Z} $
集合与集合（子集） $ \subseteq $ 或 $ \supseteq $ $ {1, 2} \subseteq {1, 2, 3} $
集合与集合（真子集） $ \subsetneqq $ 或 $ \supsetneqq $ $ {1, 2} \subsetneqq {1, 2, 3} $
集合相等 $ = $ $ {1, 2, 3} = {3, 2, 1} $

2. 易混淆符号对比

符号 含义 示例 说明
$ \in $ 属于 $ a \in A $ 元素与集合的关系
$ \subseteq $ 包含于 $ A \subseteq B $ 集合与集合的关系，$ A $ 是 $ B $ 的子集
$ \subsetneqq $ 真包含于 $ A \subsetneqq B $ 集合与集合的关系，$ A $ 是 $ B $ 的真子集
$ \cap $ 交集 $ A \cap B $ 两个集合的公共部分
$ \cup $ 并集 $ A \cup B $ 两个集合的所有元素

3. 空集的特殊性

  1. $ \varnothing $ 是任何集合的子集；
  2. $ \varnothing $ 是任何非空集合的真子集；
  3. $ \varnothing \not = $ \(\{ \varnothing \}\)（前者是空集，后者是含有一个元素“空集”的集合）；
  4. $ \varnothing \in$ \(\{\varnothing\}\) 且 $ \varnothing \subseteq$ \(\{\varnothing\}\) 和 $ \varnothing \subsetneqq$ \(\{\varnothing\}\) 成立。
    备注：这个集合只有空集一个集合作为其元素，那么显然前者成立；对于后者，由 $ \varnothing $ 是任何非空集合的真子集可以证明。

4. 区间表示法与集合表示法的对应

区间 集合表示 数轴表示
$ (a, b) $ \(\{x \mid a < x < b\}\) 开区间
$ [a, b] $ \(\{x \mid a \leq x \leq b\}\) 闭区间
$ [a, b) $ \(\{x \mid a \leq x < b\}\) 左闭右开
$ (a, b] $ \(\{x \mid a < x \leq b\}\) 左开右闭
$ (a, +\infty) $ \(\{x \mid x > a\}\) 无限区间
$ (-\infty, b] $ \(\{x \mid x \leq b\}\) 无限区间

七、解题方法与技巧

1. 集合问题的基本解题步骤

  1. 明确对象：明确集合中的元素是什么；
  2. 分析特征：分析集合中元素的共同特征；
  3. 明确关系：确定是求交、并、补还是其他关系；
  4. 数形结合：对于数集用数轴，抽象集合用 Venn 图；
  5. 检验：检查是否满足集合元素的互异性等。

2. 含参数集合问题的处理方法

  • 明确集合中元素的特征
  • 根据集合关系（相等、包含等）建立方程或不等式
  • 解方程或不等式时，注意讨论参数的取值范围
  • 检验结果是否满足集合的三性（确定性、互异性、无序性）

3. 数轴法解集合运算（数集）

对于实数集的子集，用数轴表示集合，通过数轴的覆盖关系确定：

  • 并集：数轴上所有覆盖的区域
  • 交集：数轴上共同覆盖的区域
  • 补集：数轴上指定区域之外的部分

八、典型例题（摘自 ycyz 数学必修一导学案）

例 1：集合的基本概念

已知集合 $ A =$ \(\{x \mid ax^2 - 3x + 2 = 0, x \in \mathbb{R}\}\) 中只有一个元素，求实数 $ a $ 的值。

解：

分两种情况：

  1. 当 $ a = 0 $ 时，方程化为 $ -3x + 2 = 0 $，解得 $ x = \frac{2}{3} $，集合 $ A $ 只有一个元素，符合条件

  2. 当 $ a \neq 0 $ 时，方程 $ ax^2 - 3x + 2 = 0 $ 为二次方程，只有一个解的条件是判别式 $ \Delta = 0 $

    \[\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot 2 = 9 - 8a = 0 \]

    解得

    \[a = \frac{9}{8} \]

综上，$ a = 0 $ 或 $ a = \frac{9}{8} $

例题 2：集合间的关系

已知集合 $ A =$ \(\{x \mid -2 \leq x \leq 5\}\) ，$ B =$ \(\{x \mid m + 1 \leq x \leq 2m - 1\}\)，若 $ B \subseteq A $，求实数 $ m $ 的取值范围。

解：

分两种情况：

  1. 当 $ B = \varnothing $ 时，满足 $ m + 1 > 2m - 1 $，解得 $ m < 2 $

  2. 当 $ B \neq \varnothing $ 时，需满足：

    \[\begin{cases} m + 1 \leq 2m - 1 \\ m + 1 \geq -2 \\ 2m - 1 \leq 5 \end{cases} \]

    解得：

    \[\begin{cases} m \geq 2 \\ m \geq -3 \\ m \leq 3 \end{cases} \Rightarrow 2 \leq m \leq 3 \]

综上，$ m $ 的取值范围是 $ (-\infty, 3] $

例题 3：集合的运算

设全集 $ U = \mathbb{R} $，集合 $ A =$ \(\{x \mid x^2 - 3x - 10 \leq 0\}\) ，$ B =$ \(\{x \mid x + 1 < 0\}\)，求：

  1. $ A \cup B $
  2. $ A \cap B $
  3. $ \complement_U (A \cap B) $

解：

化简，得：

  • $ A =$ \(\{x \mid x^2 - 3x - 10 \leq 0\}\) \(=\) \(\{x \mid (x-5)(x+2) \leq 0\}\) $= [-2 , 5] $
  • $ B =$ \(\{ x \mid x + 1 < 0\}\) $= (- \infty , -1) $

  1. $ A \cup B = (- \infty , -1) \cup [-2 , 5] = (- \infty , 5 ] $

  2. $ A \cap B =(- \infty , -1) \cap [-2 , 5] = [ -2 , -1 ) $

  3. $ \complement_U (A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B = (- \infty , -2 ) \cup (5, +\infty ) \cup [-1,+\infty) = (- \infty , -2 ) \cup [-1,+\infty) $
    注：或利用第二问结论直接得出也是可以的。

九、尾声·总结

集合作为高中数学的第一章，集合为后面的章节奠定了基础。最先整理的是集合这一章不仅是因为它是第一章，更是因为这一张的细节很多。希望复习的时候我还能看到这里吧。

  1. 理解本质：理解集合的确定性、互异性、无序性；

  2. 数形结合：利用 Venn 图解决抽象集合问题与集合运算；

  3. 符号区分：严格区分 $ \in $ 和 $ \subseteq $ 两种符号的含义，注意空集的特殊性；

  4. 典型题型：集合运算、集合关系、含参数集合问题；

  5. 分类讨论：你做过大分类吗？ 集合的裸题大多都要分讨，而且集合与其他知识点结合的题目也常常与分类讨论息息相关。

  6. 近视后人环节：

    • 尤其是选填题，注意是充分不必要条件，必要不充分条件还是充要条件！因为这个你之前挂了多少分自己清楚；
    • 分类讨论的主要方向：空集的存在与临界点，不要傻傻做完了在哪里乐呵呵的漏了情况；
    • 若没有特殊说明，注意题目中是否定义的有全集，如果没有则可默认为 $ \mathbb{R} $，但如果定义了则请注意有些集合必须要是全集的子集；
    • 注意集合或元素的类型！集合 $ A $ 与 $ A $ 的子集就是相同类型，具有相同元素，这一点导致由集合组成的集合相关的元素与子集等等的元素关系就会交错复杂。

杂记：

怎么一上高中我们的交集就变成 $ \varnothing $ 了……

生活一定会好起来的喵！学习集合的时候你就已经进入新的生活了哦，新的生命，还需要你继续砥砺前行，行稳致远，不负众望！

其实我们一直在你身后。只要你回头，我们都在。

完结撒花花喵！

posted @ 2025-12-23 18:35  Circle_Table  阅读(18)  评论(0)    收藏  举报