必修一物理——运动学公式整合包

前言：

物理必修一运动学公式整合。作此文以备战分班考试。

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一、基本公式（匀变速直线运动）

1. 速度公式

\[v = v_0 + a t \]

2. 位移公式

\[x = v_0 t + \frac{1}{2} at^2 \]

3. 速度-位移关系式（不算时间 \(t\) 的公式）

\[v^2 - v_0^2 = 2ax \]

4. 平均速度公式

\[\bar{v} = \frac{ x_{总} }{ t_{总} } = \frac{v_0 + v}{2} \]

仅适用于匀变速直线运动

5. 特殊情形：自由落体运动

• $ v_0 = 0 $ ，$ a = g $
• $ v = gt $
• $ h = \frac{ 1 }{ 2 }gt^2 $
• $ v^2 = 2gh $

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二、重要推论公式

1. 中间时刻瞬时速度公式

物体在时间 $ t $ 的中间时刻 $ \frac{t}{2} $ 的瞬时速度等于这段时间内的平均速度：

\[\displaystyle v_{\frac{ t }{ 2 }} = \frac{ v_0 + v }{ 2 } = \bar{ v } \]

2. 中间位移瞬时速度公式

物体在位移 $ x $ 的中点位置 $ \frac{x}{2} $ 的瞬时速度：

\[v_{ \frac{ x }{ 2 } } = \sqrt{ \frac{ v_0^2 + v^2 }{ 2 } } \]

推导：设前半段位移为 $ \frac{ x }{ 2 } $，初速度为 $ v_0 $，中点速度为 $ v_{ \frac{ x }{ 2 } } $，末速度为 $ v $，则有：

\[v_{ \frac{ x }{ 2 } }^2 - v_0^2 = 2a \cdot \frac{ x }{ 2 } = ax \]

\[v^2 - v_{\frac{x}{2}}^2 = 2a \cdot \frac{x}{2} = ax \]

两式相加得： $ v_{\frac{x}{2}}^2 = \frac{v_0^2 + v^2}{2} $

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重要性质：匀加速时，$ v_{\frac{t}{2}} $ 恒小于 $ v_{\frac{x}{2}} $ ；匀减速时，$ v_{\frac{t}{2}} $ 恒大于 $ v_{\frac{x}{2}} $。

3. 相邻相等时间间隔位移差公式（逐差法基础）

设相邻相等时间间隔为 $ T $，连续时间间隔内的位移分别为 $ x_1, x_2, x_3, ..., x_n $，则：

\[\Delta x = x_2 - x_1 = x_3 - x_2 = ... = x_n - x_{n-1} = aT^2 \]

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三、初速度为零的匀加速直线运动比例式

前提条件

• 初速度 $ v_0 = 0 $
• 加速度 $ a $ 恒定（匀加速）

1. 等时间间隔比例（设时间间隔为 $ T $）

(1) 末速度之比

\[v_1 : v_2 : v_3 : \cdots : v_n = 1 : 2 : 3 : \cdots : n \]

（$ v_n = a \cdot nT $，与时间成正比）

(2) 位移之比（连续相等时间间隔内）

• 第 $ 1 $ 个 $ T $ 内、第 $ 2 $ 个 $ T $ 内、第 $ 3 $ 个 $ T $ 内...位移之比：

\[x_Ⅰ : x_Ⅱ : x_Ⅲ : \cdots : x_N = 1 : 3 : 5 : \cdots : (2n-1) \]

(3) 总位移之比（从 $ 0 $ 开始计时）

• 前 $ T $ 内、前 $ 2T $ 内、前 $ 3T $ 内...总位移之比：

\[x_1 : x_2 : x_3 : \cdots : x_n = 1^2 : 2^2 : 3^2 : \cdots : n^2 \]

2. 等位移间隔比例（设位移间隔为 $ X $）

(1) 通过各段位移所用时间之比

\[t_1 : t_2 : t_3 : \cdots : t_n = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2}) : \cdots : (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) \]

(2) 通过各段位移末端的速度之比

\[v_1 : v_2 : v_3 : \cdots : v_n = 1 : \sqrt{2} : \sqrt{3} : \cdots : \sqrt{n} \]

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四、逐差法求加速度公式（对标：实验中的数据处理）

1. 基本公式（相邻位移差）

\[a = \frac{\Delta x}{T^2} = \frac{x_{i+1} - x_i}{T^2} \]

其中 $ T $ 为相邻计数点的时间间隔

2. 逐差法标准公式（前提：位移是偶数段）

(1)引入：$ 6 $ 段位移公式

\[a = \frac{(x_4 + x_5 + x_6) - (x_1 + x_2 + x_3)}{9T^2} \]

(2) $ 2n $ 段位移通用公式

\[a = \frac{(x_{n+1} + x_{n+2} + ... + x_{2n}) - (x_1 + x_2 + ... + x_n)}{(nT)^2} \]

注意：$ n $ 在平方的括号里面。

3. 特殊情况：奇数段位移处理方法

如有 $ 5 $ 段位移 $ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5 $ ，通常：

• 方法一：舍去第一段，用后 4 段按偶数段处理：

  \[a = \frac{(x_4 + x_5) - (x_2 + x_3)}{(2T)^2} \]

  根据实际情况，不推荐此方法，因为误差比方法二大。

• 方法二：使用所有数据，但是显然 $ x_3 $ 会被约去：

  \[a = \frac{(x_4 - x_1) + (x_5 - x_2)}{6T^2} \]

一般奇数段的公式鸽了，应该是人都会推。

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五、其他常用结论与技巧

1. 时间比例关系

对于初速度为 $ 0 $ 的匀加速直线运动：

• 通过连续相等的位移所需时间之比为：

\[t_1 : t_2 : t_3 : ... : t_n = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2}) : ... : (\sqrt{n} - \sqrt{n-1}) \]

2. 逆向思维法

末速度为 $ 0 $ 的匀减速直线运动，可逆向看作 $ v_0 = 0 $ 的匀加速直线运动。

3. 竖直上抛运动公式

• 上升时间：$ t_1 = \frac{v_0}{g} $
• 最大高度：$ H_{max} = \frac{v_0^2}{2g} $
• 上升和下降过程对称性：在同一高度，速度大小相等，方向相反

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六、公式选择策略

已知条件	优先选用公式
已知 $ v_0, a, t $ 求 $ x $	$ x = v_0t + \frac{1}{2}at^2 $
已知 $ v_0, v, t $ 求 $ x $	$ x = \frac{v_0 + v}{2}t $
已知 $ v_0, a, x $ 求 $ v $	$ v^2 - v_0^2 = 2ax $
已知 $ v_0, v, a $ 求 $ t $	$ v = v_0 + at $
实验求加速度	逐差法公式
初速度为 $ 0 $ 的比例问题	比例式

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七、进食后人

1. 矢量性：所有公式中，$ v_0, v, a, x $ 都是矢量，处理直线运动时，方向用正负号表示。注意看是否要写速度或加速度的方向。
2. 公式适用条件：所有公式仅适用于匀变速直线运动（加速度恒定）。
3. 单位统一：使用国际单位制（ $ m $ , $ s $ , $ m \cdot s^{-1} $ , $ m \cdot s^{-2} $ ）。
4. 逐差法优势：充分利用实验数据，减小偶然误差。
5. 比例式前提：必须确保初速度为 $ 0 $ 且匀加速。
6. 适用范围：不建议在大题中使用逐差法和比例式。这种方法在选填题中使用就行了。