2025.6.11 模拟赛

6.11 模拟赛

xor

key：区间在 01 trie 上拆成 \(\log\) 个子树
（高位前缀与 \(a\) 或 \(b\) 相同，有一位不同，低位任选）

考场上可能注意到了这个东西，然而不知为何把它抛在脑后了...

有这个任选的限制是非常好的，注意到如果有一个连续段 \([l,r]\) 在 \(j\) 这一位上都是任选，则 \([l,r]\) 对 \(j\) 这一位没有任何贡献。

考虑区间 dp，只需枚举当前位一个恰好“与 \(a/b\) 不同”的位置进行转移。

具体的，记 \(f(d,l,r,cl,cr,tl,tr)\) 表示第 \(d\) 位，区间 \([l+1,r-1]\) 任选，\(x_l/x_r\) 前缀与 \(a/b\) 相同，这一位与 \(a/b\) 相同/不同。

枚举分界点 \(p\)，记忆化搜索。

meow

考虑构造给定的 \(v\) 序列：先按 \(v_i\) 从小到大排序，这就是后半部分，而后贪心的构造前半部分。

考虑什么样的序列是无法构造的：

• 若 \(v_{v_i}<v_i\) ，后半部分中 \(v_i\) 会在 \(i\) 前面出现，不符合 \(f\) 的定义。

考虑连边 \(i\to v_i\)，则要求一条链要么一直向后，要么第一条边向前，然后一直向后。

设 \(dp(i,j,k)\) 表示考虑前 \(i\) 个，有 \(j\) 条向后连的，其中 \(k\) 条没确定指向的点。则 \(i\) 要么向前指向一个向后连的（\(j\) 种），要么向后连。且前面没确定指向的点可以有 \(a\) 个确定指向 \(i\)。

注意到因为枚举 \(a\) 且系数带 \(k,a\) 相关组合数，复杂度只能做到 \(n^4\)。

考虑换一种状态设计，\(dp(i,j,k)\) 表示前 \(i\) 个，前面有 \(j\) 个向后连的，后面有 \(k\) 个向后连的，则可以直接确定 \(i\) 指向的点。
两种转移 \((i,j,k)\to (i+1,j,k)\)，\((i,j,k) \to (i+1,j+1,k-1)\)，初始状态 \((0,0,*)\)，结束状态 \((n,*,0)\)。

Interesting DS - QOJ2559

首先离散化后考虑单位区间。

把所有区间按照右端点从小到大、左端点从大到小排序。此时若无包含，则一定是 \(L_i\le L_{i+1},R_i\le R_{i+1}\)，即包含某个单位的所有区间下标连续，容易线段树维护长度和当前最短的区间。

在有包含时，注意到由于 \(R_i-L_i\le R_j-L_j(i<j)\)，则若 \(L_j\le L_i<R_i\le R_j\)，\(j\) 一定比 \(i\) 后被选到。

于是我们需要动态维护没有包含其他区间的区间集合 \(S\)。

注意到 \(S\) 其实就是排序后，左端点的所有前缀 \(\max\) 位置。删除一个区间，记它的前驱、后继为 \(pre,nxt\)，则新增区间一定在 \((pre,nxt)\) 之中。每次找前缀 \(\max\) 位置，\(\le pre\) 就退出，否则加入区间并继续。