2025.5.8 模拟赛

5.8 模拟赛

split

不错的签到题。

贪心的，选择 \(a_i=2i-1,b_i=2i\) 是最优的。

不妨钦定 \(a_i\) 在 \(b_i\) 前面， \(a_i\) 的排序方案是 \(n!\)。

下面分配 \(b_i\) 的位置，发现这就是左右括号匹配，方案数是卡特兰数 \(\frac{2n\choose n}{n+1}\)。

答案是 \(n!\frac{2n\choose n}{n+1} \cdot 2^n\)，直接计算输出即可。

path

原题 [JOI Open 2022] 放学路，邹邹提过。

真难则反，考虑不存在严格次短路的图有什么性质。

部分分提示我们考虑广义串并联图和点双。

注意到对于 \(1\to n\) 路径上的环，一定有“两半”边权和相等。

讨论发现，\(1\to n\) 路径上的点双，一定不存在交叉/跨越中线的非环边，也就是广义串并联图。

不妨加入一条 \((1,n,dis(1,n))\) 的边，这样 \(1,n\) 在同一个点双里，且中线就是 \((1,n)\)。

对这个点双使用广义串并联图方法，叠合重边时要求边权相等，且 \(1,n\) 不能被删除。最后如果只剩 \(1,n\) 两个点，则满足要求。

预处理部分需要算最短路，找点双，建圆方树（找点双内部的边）。

复杂度大概是 \(O(m\log m)\)。

cut

其实不是很难。

一段序列合法的条件是 \(|X|\) 是偶数且不存在绝对众数。

容易得到 \(n^2\) dp。

没有绝对众数是不好处理的，不妨考虑容斥掉有绝对众数的。

枚举绝对众数的种类，得到：

\[f(i)=\sum\limits_{j=0}^{i-1}f(j)-\sum_{x=1}^{2n}\sum_{[j+1,i] 绝对众数=x} f(j) \]

看似复杂度还是 \(O(n^2)\)，实则不然。

key：前缀绝对众数的种类是 \(O(\log n)\) 的

于是可以 cdq 分治，这样有可能产生贡献的 \(x\) 只有 \(O(\log n)\) 种，可以枚举 \(x\) 进行转移。

找到这些 \(x\) 是容易的，维护 \(cnt\) 即可。

判断 \([j+1,i]\) 的绝对众数是否为 \(x\) 使用摩尔投票，\(=x\) 的贡献 \(1\)，\(\neq x\) 贡献 \(-1\)，要求和 \(>0\)。可以处理 \(sum(i)=\sum\limits_{s_j\ge i}f(j)\)，直接转移即可。

复杂度 \(O(n\log^2 n)\)，常数较小，可以通过。