2025.3.31

3.31 ZKY 题单练习

F - AND-OR closure

引用

key：\((a \lor b) \land c= (a\land c) \lor (b\land c)\)

于是先考虑 And-closure，再考虑 Or-closure。

And 能尽可能把二进制位“拆开”，这样 Or 可以进行任意合并。

但是“拆开”是不完全的，若所有第 \(i\) 位为 \(1\) 的数，第 \(j\) 位都为 \(1\)，那么第 \(i\) 位是依赖第 \(j\) 位的，既最后选数的时候，选 \(i\) 必须选 \(j\)。

正常做法：toposort + 折半

奇妙做法：建立点集与 DAG 上最小表示法的一一对应，即为无向图上的独立集个数。

G - Graph Race

利用 \((1,v)\) 有边的性质，将 \(dis(u,v)\) 转化为 \(dis(u,1)\)。

\(dis(u,v)=dis(u,1)+x,x\in\{-1,0,1\}\)

不妨记 \(f(u,x)=a_u-b_u(dis(u,1)+x)\)，显然有 \(f(u,-1)\ge f(u,0)\ge f(u,1)\) 且 \(f(u,1)\) 一定能取到，故不妨初值 \(ans_v=\max_u f(u,1)\)

考虑什么时候 \(x\le 0\)，发现从 \(u\) 走到 \(v\) 的过程中，经过的边 \(u'\to v'\)，若全满足 \(dis(u',1)=dis(v',1)+1\)，则 \(x=-1\)；否则最多走 \(1\) 条 \(dis(u',1)=dis(v',1)\) 的边，此时 \(x=0\)。

按照是否走过 \(dis(u',1)=dis(v',1)\) 建分层图。
具体的，对于原图中 \(dis(u,1)=dis(v,1)+1\)，建边 \(u\to v,u+n\to v+n\)；对于 \(dis(u,1)=dis(v,1)\)，建边 \(u\to v+n,v\to u+n\)

\(u\) 能到点 \(v\)，则 \(ans_v\) 用 \(f(u,-1)\) 更新；\(u\) 能到点 \(v+n\) ，则 \(ans_v\) 用 \(f(u,0)\) 更新。

在 DAG 上 topo dp 即可。

J - Holiday Regifting

从链的情况启发 -> 如果知道所有入点的周期和一个周期内当前点加的数量，那么当前点需要 \(\frac{c_i}{gcd(a_i,c_i)}\) 个周期才能变成 \(0\)。

按照拓扑序遍历每个点，更新答案即可。

M - Graph coloring

完全图，条件等价于每个点入边和出边颜色集合不交。

不妨钦定入边颜色集合 \(S_i\)，要求出边 \(\in U-S_i\)

显然若 \(\forall i,j, S_i\nsubseteq S_j \And S_j \nsubseteq S_i\)，则一定能给边 \((i,j)\) 合法赋值。

最大独立集是 \({14\choose 7 }> 3000\)，做完。

N - Rotate and Play Game

结论：一定能选到最大的 \(\frac{n}{2}\) 个。

转化为折线，较大的一半 \(+1\)，较小的一半 \(-1\)，要求折线在 \(x\) 轴以下。

以折线最高点为起点即可。

O - 区间切割

考虑只在特定情况下暴力。

将区间分成 | B | len-2B | B |，保证在 B 内切一定留另一边，于是就可以只在中间暴力切，两边维护 \(\max l,\min r\) 即可。

取 \(B=\frac {n}{3}\)，每次暴力在中间切长度至少去掉 \(\frac{1}{3}\)，故只会切 \(\log m\) 次。

扫描线 + 线段树维护 \(t\)，单点修改，区间chkmin，查询 \(p\) 左边/右边第一个 \(< t\) 的位置。

复杂度 \(O(n\log^2m)\)