2024.11.23 信友队 NOIP 模拟赛

11.23 信友队模拟赛

心态炸没的一场，开局 1.5h 一道也不会/kk

t1 写完 + 调完 已经 3h 了，拼手速无脑写了 t2 t3 暴力，最后 t4 暴力没写完...

100+35+32+0=167 遗憾离场（但是 rk10...参加这个比赛的人实在不强

dawn

一坨码力题

考虑到 \(\min{n,m}\le 18\)，不妨令 \(n\le m\)，可以 \(2^n\) 枚举强制哪些行回文。

考虑对称的两列是否回文，枚举把相互影响的四个位置变成每种状态的代价，发现不相互影响的位置相互独立，各自取最小值即可。

实现需要特判奇数时中间的行列，于是一坨。

festival

前 1.5h 想到了一些零碎的点，但是没能结合到一起

key1：从小到大插入每个数

相当于插入之后，LIS 必定 +1，这是非常好的。

key2：状压 LIS 序列

设 \(f_i\) 表示前 \(i\) 位的 LIS，注意到 \(f_i-f_{i-1}\in \{0,1\}\)，故可以状压差分数组表示 \(f_i\)。

考虑在 \(i,i+1\) 中间插入新的数 \(n+1\) 的影响，发现在新的 \(f'_i\) 中，只有 \(f'_{i+1}\) 会改变，后面的直接平移就可以。

key3：记录 \(a_i\) 的顺序

限制 \(a_i\) 是 \(p\) 的子序列，就是要求 \(a_i\) 在 \(p\) 中按顺序出现（没有逆序对）。

记 \(F(i,j,S)\) 表示加入了 \(1\) ~ \(i\)，\(a\) 序列中最后一个数的位置是 \(j\) ，\(f_i\) 的状态为 \(S\) 的方案数。

转移时枚举插入的位置，若当前插入的数在 \(a\) 中，要求插入位置 \(>j\)。

由于 \(S\) 一定是 \([1,i]\) 的子集，故状态数是 \(O(n2^n)\) 的，时间复杂度 \(O(n^2 2^n)\) 完美通过。

mystery

本场比赛看上去最正常的 ds 题目（笑

key：转化条件

查询连续的下标区间，但位置是不连续的，所以要找到对应关系。

考虑 \([l,r]\) 合法等价于从右往左能“多米诺骨牌”式推平：对于 \(\forall i\in [l,r]\)，要么 \(a_i\) 是最大值，要么 \(\exist j\in [l,r],a_j<a_i\le a_j+d\)。

为了方便处理相同元素的影响，我们将条件改写为：要么 \(a_i\) 是区间内最大的数，而且是最大值中最靠右的一个；要么存在 \(l\le j<i,a_i<a_j\le a_i+d\)，要么存在 \(i<j\le r,a_i\le a_j\le a_i+d\)，也就是说我们允许右侧出现相等，但是不允许左侧相等。（因为“链式”操作必须要连在一起）

记 \(s_i\) 表示 \(i\) 左边第一个在 \((a_i,a_i+d]\) 中的数，\(t_i\) 表示右边第一个在 \([a_i,a_i+d]\) 中的数。

扫描线扫 \(r\)，考虑对每个 \(l\) 的贡献（哪些 \(l\) 是不行的）。

对于每个 \(i\)，考虑它对 \(l\) 的限制。

• \(t_i\le r\) ，没有限制
• \(t_i>r\) 且 \(a_i\) 严格大于 \(a_{i+1} \dots a_r\)，则找到第一个使 \(a_i\) 不是后缀最大值的位置 \(j\)，对于 \(s_i<l\le j\) 的 \(l\)，无法使 \(a_i\) 合法，被限制住了。
• \(t_i>r\) 且 \(a_i\) 不是后缀最大值，\(l\in (s_i,i]\) 都被限制了。

一个合法的 \(l\) 应该是不被任何 \(i\) 限制的，可以对每个限制区间 \(+1\)，限制解除时 \(-1\)，这样答案就是每个点的历史 \(=0\) 次数。

发现对于每个 \(i\)，限制只会变化 \(O(1)\) 次（\(t_i>r\) 且后缀最大值 \(\to\) \(t_i>r\) 且不是最大值 \(\to\) \(t_i\le r\)），故复杂度 \(O((n+q)\log n)\)。

线段树维护历史 min 和出现次数，类似线段树 3 考虑维护历史 tag 最小值，当前 min 出现次数之类，应该能做。

destiny

devans 风格的构造题

众所周知，存在欧拉回路当且仅当图连通且不存在奇点。

key：不许重边 \(\to\) 考虑补图

巧妙的，找到补图的一棵生成树，从叶子开始考虑子树中奇点个数，若为奇数，则加入边 \((u,fa_u)\)。

后续把图连到一起是平凡的，构造一些环结构即可。