计算几何

计算几何

内容太多（105 页 ppt 呢
故只写大纲和之前不知道的东西

基本模板

前置知识

向量

• 基本运算（加减、数乘、点乘、叉乘）
• 高维向量的运算
• 相关计算（长度、夹角、面积……

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• 叉乘：\(\vec a \times \vec b=|\vec a||\vec b|\sin<\vec a ,\vec b>\)
  • 角度是有向的（从 \(\vec a\) 转到 \(\vec b\)）
  • 几何意义：平行四边形的有向面积
  • 二维坐标计算：\(\vec a \times \vec b =x_ay_b-y_ax_b\)
• n 维 n-1 个向量叉乘，结果是 n 维向量，系数是行列式
  \( \left|\begin{array}{cccc} x_1 & x_2 & \vec i\\ y_1 & y_2 & \vec j\\ z_1 & z_2 & \vec k \end{array}\right| \)
  • 二维：\(\vec u \times \vec u=(-y_u,x_u)\)
  • 三维：方向是法向量，大小是平四面积

基于向量的表示法

• 点 \(\boldsymbol p\)
• 直线 \(\left(\boldsymbol p,\boldsymbol d\right)\)，\(\boldsymbol p\) 是任意一点，\(\boldsymbol d\) 是方向（一般用单位向量）
• 线段 \(\left(\boldsymbol p,\boldsymbol d\right)\)，\(\boldsymbol p\) 是一个端点，\(\boldsymbol d\) 是 \(\boldsymbol p\) 到另一个端点的位移
• 多边形 \((\boldsymbol {p_1},\boldsymbol {p_2},\dots,\boldsymbol{p_n})\)，一般逆时针记录端点
• 圆 \((\boldsymbol{o},r)\)
• 曲线：解析式

图形关系

点线

• \(\boldsymbol{u}\) 在直线上：\((\boldsymbol{u}-\boldsymbol{p})\times \boldsymbol{d}=0\)
• \(\boldsymbol{u}\) 在线段上：在直线上 & 横纵坐标在区间内
• \(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\) 在直线同侧：\(((\boldsymbol{u}-\boldsymbol{p})\times \boldsymbol{d})\times ((\boldsymbol{v}-\boldsymbol{p})\times \boldsymbol{d})>0\)

线线

平行

• \(l_1\parallel l_2\)：\(\boldsymbol{d_1}\times \boldsymbol{d_2}=0\)
• \(l_1\) 与 \(l_2\) 重合：平行且 \(\boldsymbol{p_2}\) 在 \(l_1\) 上

相交

• 快速排斥实验 & 跨立实验：判断线段是否有交
• 求直线的交点：列直线方程代入求解\(\boldsymbol{u}=\boldsymbol{p_1}+k\boldsymbol{d_1}\)
  \(k=\dfrac{(\boldsymbol{p_2}-\boldsymbol{p_1})\times \boldsymbol{d_2}}{\boldsymbol{d_1}\times\boldsymbol{d_2}}\)

点 & 多边形

• 先判去点在多边形边缘的情况
• 从该点引出任意一条射线，统计与多边形相交的次数。若奇数，则点在多边形内
• 对于射线经过多边形某边或某点的情况，规定射线上的点均在射线的同一侧

直线 & 圆

• 圆心到直线距离判位置关系
• 过圆心的垂线 \((\boldsymbol{o},\boldsymbol{d}\times \boldsymbol{d})\)，求交得到垂足
• 勾股算交点到垂足距离

圆圆

• 圆心距离判位置关系
• 交线方程 \(\to\) 线圆交点

基本计算

• 点到直线距离 \(dis(\boldsymbol u,(\boldsymbol p,\boldsymbol d))=(\boldsymbol{u}-\boldsymbol{p})\times \boldsymbol{d}\)
• 多边形面积：\(\frac{1}{2}|\sum \boldsymbol{p_i}\times \boldsymbol{p_{(i\bmod n) +1}}|\)，绝对值在求和号外面
• 旋转向量 \((\boldsymbol{a}\times (\sin\theta,\cos\theta),\boldsymbol{a}\cdot (\sin\theta,\cos\theta)),\theta\in[0,\pi]\)

极角排序

先判象限，同一象限按 \(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v}\) 的正负判断。

int quadrant(const vector2d& u) {
    return (u.y < 0) << 1 | ((u.x < 0) ^ (u.y < 0));
}
bool polar_cmp(const vector2d& u, const vector2d& v) {
    int qu = quadrant(u);
    int qv = quadrant(v);
    if (qu != qv) return qu < qv;
    ll d = det(u, v);
    if (d) return d > 0;
    return norm2(u) < norm2(v);
}

二维凸包

Andrew 算法

• 所有点按 x 为第一关键字，y 为第二关键字排序
• 单调栈分别求上下凸壳

vector<poi> Andrew(vector<poi> p){
    vector<poi> q;int tl=0;
    sort(p.begin(),p.end());
    rep(i,0,p.size()-1){
        while(tl>1 && cross(q[tl-2],q[tl-1],p[i])<=0)
            q.pop_back(),--tl;
        q.push_back(p[i]);++tl;
    }
    int tmp=tl;
    per(i,p.size()-2,0){
        while(tl>tmp && cross(q[tl-2],q[tl-1],p[i])<=0)
            q.pop_back(),--tl;
        q.push_back(p[i]);++tl;
    }
    q.pop_back();return q;
}

Graham 算法

• 钦定一个起点，所有点极角排序
• 同样是单调栈
• 一般不写

例题 [SHOI2012] 信用卡凸包

普通凸包板子 + 角上转一圈

闵可夫斯基和

另一类图形并（？

定义 \(C=\{a+b|a\in A,b\in B\}\)

从左下角开始，双指针扫，按照极角序依次加入每条边

vector<poi> minkowski(vector<poi> &a,vector<poi> &b){
    vector<poi> c{a[0]+b[0]};int pa=1,pb=1;
    a.push_back(a[0]),b.push_back(b[0]);
    while(pa<(int)a.size() || pb<(int)b.size()){
        if(pa<(int)a.size() && (pb==(int)b.size()||
            sgn((a[pa]-a[pa-1])^(b[pb]-b[pb-1]))>=0))
             c.push_back(c.back()+a[pa]-a[pa-1]),pa++;
        else c.push_back(c.back()+b[pb]-b[pb-1]),pb++;
    }
    return c;
}

例题 [JSOI2018] 战争

题目要判断是否存在 \(q+\boldsymbol{v}=p\)
移项得 \(\boldsymbol{v}=p-q\)
于是判断 \(\boldsymbol{v}\) 是否在 \(p,-q\) 的闵可夫斯基和内
钦定起点，二分极角得到 \(\boldsymbol{v}\) 对应边，判断是否和起点在同一方向

旋转卡壳

在枚举凸包的边的同时，维护其他需要的点

可以在线性复杂度内解决凸包直径、最小矩形覆盖等问题

例题 [HNOI2007] 最小矩形覆盖

结论：最小矩形覆盖一定包含凸包上的一条边

枚举这条边，维护 3 个最远点即可

注意初始最左边的点要先赋值成初始最右边的点再扫，否则动不了

半平面

一条直线和直线的一侧，包含直线为闭，不包含为开

定义：\(Ax+By+C\ge 0\)

在计算几何中用向量表示，统一为向量的左侧

半平面交

• 加入边界（避免特判无穷大）
• 极角排序（斜率相同，靠左的在前面）+ 去重
• 单调队列维护（先弹队尾，再弹队首）
  • 弹出条件（以队尾为例）
    
    队尾的两直线交点在新直线右侧时，弹出队尾。
  • 改进精度（代入交点坐标，解方程，去分母）
  • \(((\boldsymbol{p_1}-\boldsymbol{p_3})\times\boldsymbol{d_3})(\boldsymbol{d_1}\times\boldsymbol{d_2})\ge ((\boldsymbol{p_1}- \boldsymbol{p_2})\times\boldsymbol{d_2})(\boldsymbol{d_1}\times \boldsymbol{d_3})\)
  • 先弹队尾，再弹队首，全部结束后用队首弹队尾
    
    
• 判断无交
  • 若最后只有 \(<2\) 条线，一定无交
  • 任取两条线的交点，判断它是否在所有射线的左边
  • 特殊情况：存在平行且反向，互相在对方右侧的向量
    如果出现，其他向量一定被弹没，只需判断队尾和前一个即可
• 求面积就是平凡的多边形

随机增量法

增量法：将一个问题化为刚好小一层的子问题
\(T(n)=T(n-1)+g(n)\)

例题：Luogu 1742 最小圆覆盖

• 求三个点的外接圆：垂直平分线
• 增量构造
  • 前 i-1 个点的圆是 \(C\)，若 i 在 \(C\) 中，跳过
  • 否则 i 一定在新的 \(C'\) 上
  • 重复找第一个不在圆 \(C'\) 中的点，让圆 \(C'\) 过这个点
• 感性理解，最后一定能构造出前 i 个点的圆，因为不会出现两个点在 i “两端”的情况（否则 i 就在 \(C\) 中）
• 复杂度分析：
  • 由于最多只有 3 个点参与确定了最小覆盖圆，每个点参与的概率不大于 \(\frac{3}{n}\)，也就是每层会循环到下一层的概率不大于 \(\frac{3}{i}\)
  • \(T_1(n)=O(n)+\sum \frac{3}{i}T_2(i)\)
  • \(T_2(n)=O(n)+\sum \frac{3}{i}T_3(i)\)
  • \(T_3(n)=O(n)\)
  • 显然 \(T_1(n)=T_2(n)=T_3(n)=O(n)\)，带有一个大概 13 的常数

平面图转对偶

定义：原图每个面对应一个点，每条边左右的面连起来。

（虽然很丑但它是对偶图/kk

• 认为每个面是由逆时针的有向边拼起来的
• 原图中的边拆成两条有向边（对应两个面）
• 枚举每条边，若还没访问过，就从它出发逆时针转，找原图中它左边的面
• 对原图中每个点，从它出发的有向边极角排序
• 下一个要访问的边，就是当前边的反向边在极角序中的前驱
• 最后连接每条边对应的两个面

例题：Luogu 3249 矿区

先转对偶图，随便找一颗生成树，以无界域为根

非常厉害的结论：

多边形边界对应的树边，若内部是儿子，加上子树权值；否则，减去子树权值

画图可以感受到这个容斥是正确的，并适用于一切可加减的信息

习题

Luogu 3517 WYK-Plot

给定 n 个点，要求分成不超过 m 段，最小化每段最小覆盖圆的半径最大值。

二分答案，关键在于 check

我们不可以按顺序增量构造，因为随机增量复杂度才是对的。

从左到右构造，每个左端点找最大右端点，如果二分范围 [l,n]，复杂度会悲催的成为 \(O(n^2\log n)\)。

key: 倍增优化二分

考虑倍增段长找到第一个不符合要求的 \(R\)，如果最终答案为 \(r\)，显然倍增的复杂度不超过 \(2(r-l)\)。

用 \([l,R]\) 区间来二分，check 的复杂度就是 \(O(n\log n)\) 了。

加上二分答案的复杂度，最终复杂度是 \(O(n\log^2 n)\)