24.4.6 题解

4.6 模拟赛

T1 困难的图论

题意：找出所有 在且仅在 1 个简单环中的边，输出编号的异或和。

一个错误的想法：找边双连通分量，看边数是否等于点数

反例：

正解是点双

所以我在想，为什么是点双，不是边双呢？

什么时候找点双，什么时候找边双呢？

T2 中等的字符串

已知 \(m\) 个关键词 \(s_i\)，每出现一次得分 \(a_i\)，求一个未知的长度为 \(n\) 的文本，最大得分是多少。

数据范围：\(n\le 10^{12},m\le 100,\sum |s_i|\le 200,a_i\le 200\)

显然 AC 自动机上 dp，但是 1e12

key：矩阵优化 AC 自动机上 dp

非常神奇。

我们发现转移方程是 \(f_{i,j}=\max\{f_{i-1,k}+val(j,k)\}\)

其中 val 代表从 \(j\) 点走到 \(k\) 点的贡献，如果走不到就是负无穷。

在上面这个式子里，\(j\) 到 \(k\) 只能走一步，考虑能不能结合起来多走几步（因为 \(n\) 是步数）。

发现 \(f_{i,j}\) 其实就是走 \(i\) 步意义下的 \(val(0,j)\)，故满足结合律，可以类似矩阵乘求 \(val(j,k)\)。

复杂度 \(O((\sum|s_i|)^3\log n)\)

T3 上网

知道一些信息：

1. 值域 \([1,10^9]\)
2. \(x_{p_i}=d_i\)
3. 对于下标区间 \([L_i,R_i]\)，可以分成“大组” \(S\) & “小组” \(T\)，满足 \(\forall i\in S,j\in T,x_i>x_j\)

求一个可行的构造方案。

整体思路：大小关系建成 DAG，拓扑排序赋值。

30pts：暴力 \(O(n^2)\) 建边

50pts：每个信息设定中间点，用边权区分，\(O(nm)\) 建边

正解：线段树优化建边，\(O(k\log n)\)

先像线段树一样，每个点表示区间最大值，和子节点之间连边权为 0。

每个信息：

1. 找出 \(k\) 个点分隔开的 \(k+1\) 个区间
2. 每个区间找到线段树对应的 \(\log n\) 个区间
3. 新建一个点 \(x\) 表示这些区间的最大值
4. x 与这些区间连边权为 0
5. k 个点与 x 连边权为 1