ABC344G 题解

ABC344G 题解

给定平面上 \(n\) 个点和 \(q\) 条直线，问对于每条线，有多少点在它上方。

形式化的，对于直线 \(y=ax+b\) 统计有多少点 \((x,y)\) 满足 \(y\ge ax+b\)，即 \(-ax+y\ge b\)。故我们可以将所有点按照 \(-ax+y\) 排序，从而利用二分简单的得出结果。

但是我们显然不可能暴力进行排序，本题重点在于优化。

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key：对于每对点，它们的先后顺序只可能反转一次

证明：设点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)

• 若 \(x_1=x_2\)，显然顺序只与 \(y_1,y_2\) 有关，不会改变
• 否则，设当前斜率为 \(A\)，满足 \(-Ax_1+y_1<-Ax_2+y_2,x_1<x_2\)
  \(\to A(x_2-x_1)<(y_2-y_1) \to A<\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)
  如果反转，则说明 \(A<\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}<A'\)
  显然，当 \(a\) 从小到大排序时，只会有一次反转

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现在解法就变得显然了。

1. 将所有直线按 \(a\) 从小到大排序，初始所有点按字典序排序
2. 预处理每对点会在哪个 \(a\) 反转顺序，塞进优先队列
3. 顺序处理每条直线，先反转所有应该反转的点，再二分答案

复杂度分析：

1. \(O(q\log q + n\log n)\)
2. \(O(n^2\log n)\)
3. \(O(q\log n)\)

总复杂度为 \(O(q(\log q+\log n)+n^2\log n)\)

极限复杂度大概 \(6.6\times 10^8\)，但时限 10s，所以能过。

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tricks：

1. 改写式子，分离变量
2. 利用单调性，排序的更新可以与询问次数无关