P3749 题解

P3749 [六省联考 2017] 寿司餐厅 题解

发现很少有人讲为什么这题是最大权闭合子图，但作为一个刚学网络流的蒟蒻，我认为考虑是必要的。

最大权闭合子图的特点：

• 存在单向依赖关系，选 \(x\) 必须选 \(y\)。
• 每个点只会被选一次。
• 代价有正有负。

本问题特点：

• 选一个区间，必选所有子区间（单向依赖）。
• 贡献 & 代价都只算一次。
• 有正有负。

完美符合要求！

只需要打个补丁，选 \([i,i]\) 必选 \(a_i\)。

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会最大权闭合子图的可以跳过下面一部分。

最大权闭合子图模型

考虑最优为选所有正的，不选负的。

建图：

• \(s\) 为源点，\(t\) 为汇点。
• 对于依赖关系 \(x\to y\)，连边 \((x,y,INF)\)。
• 对于节点，若代价为正，连边 \((s,i,v_i)\)；反之，连边 \((i,t,-v_i)\)。

若割掉与 \(s\) 相连的边，代表不选这个正的，损失 \(v_i\) 贡献；若割掉与 \(t\) 相连的边，代表选这个负的，付出 \(v_i\) 代价。

发现 \(s\) 和 \(t\) 只会通过形如 \(s\to x\to y\to t\) 的边相连。

• 如果保留 \((y,t)\)，即选 \(y\)，则必然割掉 \((s,x)\)，即不选 \(x\)。
• 如果割掉 \((y,t)\)，即不选 \(y\)，\((s,x)\) 可割可不割，不受影响。

故此图的割满足选 \(y\) 是选 \(x\) 的必要条件。

最大权为 所有正权值之和 \(-\) 最小割。

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讲到这里本题建图就很简单了，不懂的请自行看代码理解。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,x,y) for(int i=x;i<=y;i++)
#define REPG(i,g,x) for(int i=g.head[x];~i;i=g.edge[i].nxt)

//此处省略快读板子

const int N=1e5+5,M=2e6+5;
struct graph{
    int head[N],cnt;
    struct node{
        int to,nxt,w,c;
    }edge[M];
    inline void add(int x,int y,int w,int c){
        edge[++cnt]=(node){y,head[x],w,c};head[x]=cnt;
    }
    inline void clear(){
        memset(head,-1,sizeof(head));cnt=1;
    }
}g;
int n,m,s,t;
const int NF=105;
const int INF=1e9+5;
int a[NF],d[NF][NF],id[NF][NF];
int Maxa;

namespace Dinic{
    int dep[N],cur[N];
    queue<int> q;
    bool bfs(){
        memset(dep,-1,sizeof(dep));
        memcpy(cur,g.head,sizeof(g.head));
        while(!q.empty()) q.pop();
        
        dep[s]=1;q.push(s);
        while(!q.empty()){
            int u=q.front();q.pop();
            if(u==t) break;
            REPG(i,g,u){
                int v=g.edge[i].to,w=g.edge[i].w,c=g.edge[i].c;
                if(dep[v]==-1 && w>c){
                    dep[v]=dep[u]+1;
                    q.push(v);
                }
            }
        }
        return dep[t]!=-1;
    }
    int dfs(int u,int f){
        if(u==t || !f) return f;
        int res=0;
        for(int i=cur[u];(~i) && f!=res;i=g.edge[i].nxt){
            int v=g.edge[i].to,w=g.edge[i].w,c=g.edge[i].c;
            cur[u]=i;
            if(dep[v]==dep[u]+1 && w>c){
                int nf=dfs(v,min(f-res,w-c));
                res+=nf;
                g.edge[i].c+=nf;
                g.edge[i^1].c-=nf;
            }
        }
        return res;
    }
    int solve(){
        int ans=0;
        while(bfs()) ans+=dfs(s,INF);
        return ans;
    }
}

int main(){
    g.clear();
    read(n),read(m);
    rep(i,1,n) read(a[i]),Maxa=max(Maxa,a[i]);
    s=1,t=2;
    int tot=2;
    rep(i,1,n) rep(j,i,n){
        read(d[i][j]);
        id[i][j]=++tot;
    }
    int mx=0;
    rep(i,1,n) rep(j,i,n){
        if(i==j){
            //选 d[i][i] 必选 a[i]
            g.add(id[i][j],tot+a[i],INF,0);
            g.add(tot+a[i],id[i][j],0,0);
            //选 d[i][i] 需要付出 a[i] 的代价
            d[i][j]-=a[i];
        }
        else{
            //选 d[i][j] 必选 d[i+1][j],d[i][j-1]
            g.add(id[i][j],id[i+1][j],INF,0);
            g.add(id[i+1][j],id[i][j],0,0);
            g.add(id[i][j],id[i][j-1],INF,0);
            g.add(id[i][j-1],id[i][j],0,0);
        }
        if(d[i][j]>0) g.add(s,id[i][j],d[i][j],0),g.add(id[i][j],s,0,0),mx+=d[i][j];
        else g.add(id[i][j],t,-d[i][j],0),g.add(t,id[i][j],0,0);
    }
    //选 i 需要付出 m*i*i 的代价
    rep(i,1,Maxa) g.add(tot+i,t,m*i*i,0),g.add(t,tot+i,0,0);
    printf("%d\n",mx-Dinic::solve());
    return 0;
}