230718B3-path 题解
感谢 cn_ryh 大佬的怂恿（否则我真不会动这个题
感谢 cszhpdx 的指导帮助 qwq
（让我们膜拜一下场切的浩杨哥 orz
解决这个题让人很有成就感（
题意
给定一个基环树，边有长度l、限速v、价值w（每单位时间）
已知起点s、终点t、最高速度u，求最小花费
边数、询问次数 \(10^5\)
解法
首先学习一下基环树，在这个题里环对答案的影响就是让路径多了一条。
考虑环上的任意一边，两条路径一定分别经过和不经过这条边。
- 不经过：断掉这条边，让基环树变成树。
- 强制经过：让起终点分别到两端点，再加上这条边本身。
现在问题转化为在树上求两点间路径，计算花费
众所不周知，树链剖分就是干这个用的
由于树剖保证同一条重链上dfs序连续，这很明显就是区间查询，所以可以在dfs序上建线段树等数据结构。
显然对于每条边，为了花费最小，要求时间最短，速度最大。只有 2 种情况：按照 v 跑和按照 u 跑（ \(V=\min(u,v)\) ）。
那么我们建两棵线段树，分别记录当前按v跑的总花费，按u跑的总花费，查询的时候加起来就好了（
大体的思路就是上面说的这样qwq
有几个地方要注意：
-
边上有权而不是点，可以把权值转移到深度较深的点上，计算的时候注意 lca 对应的权值不算
-
有多个询问，可以离线下来，按u排序，这样每次只需要修改跟上次不一样的点（按v排序），把操作次数降到 \(O(n)\)。
-
起点和终点重合的情况最好加个特判
-
记得开 long long
流程：
-
输入，建边
-
dfs 找环+树剖
-
建线段树
-
询问排序，点排序
-
每次修改线段树，计算答案
这题代码长达 5k，细节还是挺多的（尤其是点排序后很多下标会变化，要想清楚）
还是放一下完整代码纪念我写过最长的题qwq
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rep(i,n) for(int i=1;i<=n;i++)
#define rep0(i,n) for(int i=0;i<n;i++)
#define drep(i,n) for(int i=n;i>=1;i--)
#define REPG(i,h,x) for(int i=h[x];~i;i=e[i].next)
#define LL long long
inline int read(){
int s=0,f=1;char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar()) s=s*10+c-'0';
return s*f;
}
const int N=1e5+50;
int head[N],cnt;
struct edge{
int to,next,len,dj;
}e[2*N];
inline void add(int x,int y,int l,int dj){
e[++cnt]=(edge){y,head[x],l,dj};head[x]=cnt;
}
int tot;
int rkp[N],rkd[N];
struct point{
int fa,dep,siz,son;
int len,dj;
int top,dfn;
int id;
inline bool operator<(const point &a) const{
return dj>a.dj;
}
}p[N];
struct duan{
int a,b,l,x;
}d;
inline void dfs_c(int u){
p[u].son=-1;p[u].siz=1;
REPG(i,head,u){
int v=e[i].to;
if(v==p[u].fa||(u==d.a&&v==d.b)) continue;
if(p[v].dep){
d.a=u,d.b=v;
d.l=e[i].len,d.x=e[i].dj;
}
else{
p[v].fa=u;
p[v].dep=p[u].dep+1;
p[v].len=e[i].len,p[v].dj=e[i].dj;
dfs_c(v);
p[u].siz+=p[v].siz;
if(p[u].son==-1||p[v].siz>p[p[u].son].siz) p[u].son=v;
}
}
}
inline void dfs_p(int u,int t){
p[u].top=t;
p[u].dfn=++tot;
rkd[tot]=u;
if(p[u].son==-1) return;
dfs_p(p[u].son,t);
REPG(i,head,u){
int v=e[i].to;
if((u==d.a&&v==d.b)||(u==d.b&&v==d.a)) continue;
if(v!=p[u].son&&v!=p[u].fa) dfs_p(v,v);
}
}
struct SegmentTree{
int cnt;
int ls[2*N],rs[2*N];
double sum[2*N];
inline int build(int l,int r){
int x=++cnt;sum[x]=0;
if(l==r) return x;
int mid=(l+r)>>1;
ls[x]=build(l,mid);
rs[x]=build(mid+1,r);
return x;
}
inline void pushup(int x){
sum[x]=sum[ls[x]]+sum[rs[x]];
}
inline void change(int x,int l,int r,int p,double v){
if(l==r) return sum[x]=v,void();
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=p) change(ls[x],l,mid,p,v);
else change(rs[x],mid+1,r,p,v);
pushup(x);
}
inline double query(int x,int l,int r,int s,int t){
if(l>=s&&r<=t) return sum[x];
double res=0;
int mid=(l+r)>>1;
if(mid>=s) res+=query(ls[x],l,mid,s,t);
if(t>mid) res+=query(rs[x],mid+1,r,s,t);
return res;
}
}t1,t2;
struct question{
int s,t,u;
int id;
inline void rd(){
s=read(),t=read(),u=read();
}
inline bool operator< (const question &a)const{
return u<a.u;
}
}q[N];
double ans[N];
int n,m,Q;
int v[N],w[N];
inline double dis(int x,int y,int u){
if(x==y) return 0;
double res=0;x=rkp[x],y=rkp[y];
int fx=rkp[p[x].top],fy=rkp[p[y].top];
while(fx!=fy){
if(p[fx].dep>=p[fy].dep)
res+=t1.query(1,1,n,p[fx].dfn,p[x].dfn)+t2.query(1,1,n,p[fx].dfn,p[x].dfn)/u,
x=rkp[p[fx].fa];
else
res+=t1.query(1,1,n,p[fy].dfn,p[y].dfn)+t2.query(1,1,n,p[fy].dfn,p[y].dfn)/u,
y=rkp[p[fy].fa];
fx=rkp[p[x].top];fy=rkp[p[y].top];
}
if(p[x].dfn<p[y].dfn)
res+=t1.query(1,1,n,p[rkp[p[x].son]].dfn,p[y].dfn)+t2.query(1,1,n,p[rkp[p[x].son]].dfn,p[y].dfn)/u;
else
res+=t1.query(1,1,n,p[rkp[p[y].son]].dfn,p[x].dfn)+t2.query(1,1,n,p[rkp[p[y].son]].dfn,p[x].dfn)/u;
return res;
}
int main(){
memset(head,-1,sizeof(head));
n=read(),m=read(),Q=read();
rep(i,n){
int a,b,l,x;
a=read(),b=read(),l=read(),x=read();
add(a,b,l,x);
add(b,a,l,x);
}
p[1].dep=1;dfs_c(1);
dfs_p(1,1);
rep(i,m){
v[i]=read(),w[i]=read();
}
rep(i,Q){
q[i].rd();
q[i].id=i;
}
sort(q+1,q+Q+1);
rep(i,n) p[i].id=i;
sort(p+1,p+n+1);
rep(i,n) rkp[p[i].id]=i;
int rt=t1.build(1,n);
rt=t2.build(1,n);
rep(i,n){
t2.change(rt,1,n,i,(LL)p[rkp[rkd[i]]].len*w[p[rkp[rkd[i]]].dj]);
}
int lst=1;
rep(i,Q){
int u=q[i].u;
while(v[p[lst].dj]<u&&lst<=n){
t1.change(rt,1,n,p[lst].dfn,(double)p[lst].len/v[p[lst].dj]*w[p[lst].dj]);
t2.change(rt,1,n,p[lst].dfn,0);
lst++;
}
double res=dis(q[i].s,q[i].t,u);
res=min(res,dis(q[i].s,d.a,u)+dis(q[i].t,d.b,u)+(double)d.l/min(v[d.x],u)*w[d.x]);
res=min(res,dis(q[i].s,d.b,u)+dis(q[i].t,d.a,u)+(double)d.l/min(v[d.x],u)*w[d.x]);
ans[q[i].id]=res;
}
rep(i,Q) printf("%.2lf\n",ans[i]);
return 0;
}
完结撒花 qwq
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