已经没了的 P8459

bs 鸽鸽的小清新题，我来发篇摸鱼验题人题解。

首先考虑极低分做法，分别是 模拟列竖式 和 FFT，复杂度分别是 \(O(n^2)\) 和 \(O(n\log n)\)，都过不了。

其次考虑一些奇怪的语言，比如知名的自带高精的 Python 以及 Ruby（后者似乎慢些），但是他们实现的方法毕竟不是 \(O(n)\) 的，根据亲测，Ruby 和 Python 均能得到 15pts 的高分，但是都寄在了最后一点。

接下来考虑正解，根据上述的努力和高达 \(10^7\) 级的数据我们知道只能搞 \(O(n)\) 的做法，然后关键点在于找到一种 \(O(n)\) 的高精度运算之后我们处理运算完之后的小数据，得出判断。

取舍了一通之后发现高精模低精好像十分靠谱，因为有式子：\(a\equiv a_1\pmod {p},b\equiv b_1\pmod {p}\Rightarrow a\times b\equiv a_1\times b_1\pmod {p}\)，但是它并不保证反着也是正确的。

那么怎么证明它的可靠性呢？我们考虑如果毒瘤出题人要卡一个模数的话他就要用 CRT 构造，可以知道如果在 \(10^{18}\) 的范围内取模数的话它只有极小的概率会被卡。

那么实现就很简单了，高精模低精，然后随机一个或多个模数进行计算，多模数的话如果结果均正确就 OK 了。

bs 鸽鸽写的是单模数且不随机的做法，理论上是可以卡的，实际上毒瘤出题人卡掉了 \(998244353,19****17\) 等 \(16\) 个常用模数，实际上如果发现模数被卡就再换一个呗，比如 \(5307\) 就没有被卡（

当然，模数越多常数越大，你写 \(6\) 模数应该是能稳定地跑过去，\(7\) 模数由于常数和评测机状态的问题可能就会被卡了，当然，谁没事干写那么多模数的啊 除了我为了看看 bs 的数据多毒瘤（

由于模数太多影响可读性，这里放一个三模数的代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
// #define int long long
int mod1,mod2,mod3;
int t;
struct Node{
	int x,y,z;
};
inline Node read(){
	int s1=0,s2=0,s3=0;char ch=getchar();
	while(!isdigit(ch)){ch=getchar();}
	while(isdigit(ch)){
		s1=s1*10+(ch^48);
		s2=s2*10+(ch^48);
		s3=s3*10+(ch^48);
		if(s1>mod1)s1%=mod1;
		if(s2>mod2)s2%=mod2;
		if(s3>mod3)s3%=mod3;
		ch=getchar();
	}
	return (Node){s1,s2,s3};
}
signed main(){
	cin>>t;
	srand(time(0));
	while(t--){
		mod1=rand()%(int)1e4,mod2=rand()%(int)1e4,mod3=rand()%(int)1e4;
		Node a=read(),b=read(),c=read();
		if(a.x*b.x%mod1==c.x&&a.y*b.y%mod2==c.y&&a.z*b.z%mod3==c.z)puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}

最后说下怎么卡模数，比如 bs 鸽鸽曾经的题解用的模数是 \(123\)，那么我们随便写两个数，比如 \(533\times622=331526\)，模 \(123\) 是 \(41\)，那么构造

1
533 622 41

就能卡掉力！

比如我们同时卡 \(123\) 和 \(12\)，那么 $331526\equiv 2\pmod{12} $，然后构造 \(41+123\times3=410\)，它模 \(12\) 是 \(2\)，模 \(123\) 是 \(41\)，所以就可以卡掉双模数了，多模数同理。

当然，不要叉 bs 的，bs 可爱。