学习笔记——prufer序列

prufer序列是什么？

百度百科这样说：

Prufer数列是无根树的一种数列。在组合数学中，Prufer数列由有一个对于顶点标过号的树转化来的数列，点数为n的树转化来的Prufer数列长度为n-2。它可以通过简单的迭代方法计算出来。

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与无根树的转换

1.无根树转prufer序列

重复以下步骤直至只剩下两个点：

找到度数为1的且编号最小的节点x，将它所连接的节点加入\(prufer\)序列一次，然后删掉x

2.prufer序列转无根树

准备好一个点集（\({1,2,3,4,....,n}\)）

重复以下步骤直至\(prufer\)序列为空：

找到点集中还存在的且在当前的prufer序列中未出现的最小的一个点v，用当前\(prufer\)序列的第一个数\(u\)，将\(u\)和\(v\)连边，然后删除\(u\)和\(v\)

性质

• 该序列长度为\(n-2\)（废话）

• 一个度数为\(d_i\)的点会在序列中出现\(d_i-1\)次（它的度从\(d_i\)变成1共加入序列了\(d_i-1\)次）

• \(prufer\)序列与无根树一一对应,这意味着求无根树的个数等价于求\(prufer\)序列的个数，活生生的将树上问题（误）转换为了序列问题

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题目

1.[HNOI2004]树的计数

题意：给定一棵树中每个节点的度数\(d_i\)，求满足条件的树的个数，答案不超过\(1e17\)

做法：由上面的性质可知，每个点会在\(prufer\)序列中出现\(d_i-1\)次，求树的个数等价于求序列个数，那么这就变成了一个多重集排列问题，套用公式可得：

\(ans = \frac{(n-2)!}{\prod_{i=1}^n(d_i-1)!}\)

另外此题需要一些特判，如\(\Sigma(d_i-1)\neq n-2\)，或者只有一个点，又或者\(d_i=0\)，这里不再赘述（虽然已经说完了）

由于计算过程中可能炸\(longlong\)，需要高精度除法或者分解质因数化除为减

2.[HNOI2008]明明的烦恼

题意：同上，如果给定的\(d_i=-1\)，则表示这个点的度数不受限制

做法：设\(cnt\)表示\(d_i\neq-1\)的点的个数，\(sum\)表示\(\Sigma(d_i-1)\)（前提是\(d_i\neq-1\)），于是这些点和上题一样满足（假设\(d_{1-cnt}\)是\(\neq -1\)的点）：

\(p = \frac{sum!}{\prod_{i=1}^{cnt}(d_i-1)!}\)

由于总共有\(n-2\)个位置，这\(sum\)个位置的选法有\(C_{n-2}^{sum}\)种

剩下的\((n-cnt)\)个点可以在剩下的\((n-2-sum)\)个位置出现任意次数，即有\((n-cnt)^{n-sum-2}\)种选择

所以有：

\(ans=C_{n-2}^{sum}*p*(n-cnt)^{n-sum-2}\)

化简可得：

\(ans=\frac{(n-2)!}{(n-2-sum)!\prod(di-1)!}*(n-cnt)^{n-sum-2}\)

用第一题的做法做即可，乘法加法要用高精度