CF2205D

摘要：单调栈

前置芝士：洛谷单调栈模板题

原题指路：CF原题 洛谷翻译版

题意转化

要求删除次数最少，相当于求出一个最长的 cool。

而显然：求最长的 cool 相当于是求最长的单谷序列。
因为多谷则必然有峰，那么还需再删；
而单调序列相当于一端点是谷，故也可以用单谷序列去考虑。

如此，原题题意就转化为求最长单谷序列的长度。
而答案最小删除次数则用原排列长度减去此值即可。

思路

那么如何求最长单谷序列的长度？

可以想到用单调栈完成。

• 先从左往右扫一遍，维护一个单减栈。
  不难发现，当新加入的元素大于栈顶元素 \(a_x\) 时，栈内元素序列即是 \(a_x\) 左侧含 \(a_x\) 的最大单减序列，而栈的大小即是其长度。
• 再从右往左扫一遍，维护一个单减栈。
  不难发现，当新加入的元素大于栈顶元素 \(a_x\) 时，栈内元素序列即是 \(a_x\) 右侧含 \(a_x\) 的最大单增序列，而栈的大小即是其长度。

对于一个元素 \(a_x\) 而言，把上述的两种序列拼起来，可见就得到了 \(a_x\) 为谷的最大单谷序列。
由于 \(a_x\) 被数了两次，所以 \(a_x\) 为谷的最长单谷序列长度 \(mxl_x = dl_x + dr_x - 1\)。

注意别忘了每次最后还要处理留在栈中的元素。

那么就做完了。

举例

这么讲可能有点抽象。我以样例中的一组数据大概模拟一遍该过程。

样例中的一组数据是这样的：
4 1 3 2 5

• 从左到右扫，维护单减栈。

  • 压入 \(4\)，栈内 4。
  • 压入 \(1\)，栈内 4 1。
  • 压入 \(3\)。
    \(3 > 1\)，所以弹出 \(1\)。
    可见此时栈内的 4 1 就是 \(1\) 左侧含 \(1\) 的最大单减序列。求出相应的有关值。
    栈内 4 3。
  • 压入 \(2\)，栈内 4 3 2。
  • 压入 \(5\)，栈内所有元素均比它小，所以都弹出，并求出相关对应值。
    栈内 5。

  最后弹出栈中所有元素。与前面逻辑同理，此时的每一个元素的 \(dl_x\) 值仍为它即将弹出前的栈的大小。

• 从右往左扫，维护单减栈。

  逻辑也是一样的，这里就不赘述了。

代码

有注释版本

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int T;
int n, a[N];
int s[N], tops;
int dl[N], dr[N];
int ans;

int main(){
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		scanf("%d", &n);
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			scanf("%d", &a[i]);
		}
		
		tops = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			if(tops < 1){
				s[++tops] = i;
				continue ;
			}
			while(a[s[tops]] < a[i] && tops > 0){
				dl[s[tops]] = tops;
				--tops;
			}
			s[++tops] = i;
		}
		while(tops > 0){
    		dl[s[tops]] = tops;
    		--tops;
		}
		
		tops = 0;
		for(int i = n; i >= 1; --i){ 
			if(tops < 1){
				s[++tops] = i;
				continue ;
			}
			while(a[s[tops]] < a[i] && tops > 0){
				dr[s[tops]] = tops;
				--tops;
			}
			s[++tops] = i;
		}
		while(tops > 0){
    		dr[s[tops]] = tops;
    		--tops;
		}
		
		
		int mxl = -1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			mxl = max(mxl, dl[i] + dr[i] - 1);
		}
		ans = n - mxl;
		
		printf("%d\n", ans);
	}
	
	return 0;
}

无注释版本

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 5e5 + 10;
int T;
int n, a[N];
int s[N], tops;
int dl[N], dr[N];
int ans;

int main(){
	
	scanf("%d", &T);
	while(T--){
		scanf("%d", &n); //输入。scanf真曼妙。 
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			scanf("%d", &a[i]);
		}
		
		tops = 0;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){ //从左到右扫，维护单减栈 
			if(tops < 1){
				s[++tops] = i;
				continue ;
			}
			while(a[s[tops]] < a[i] && tops > 0){ //记得判断tops 
				dl[s[tops]] = tops;
				--tops;
			}
			s[++tops] = i;
		}
		while(tops > 0){ //记得处理栈中剩余元素
    		dl[s[tops]] = tops;
    		--tops;
		}
		
		tops = 0;
		for(int i = n; i >= 1; --i){ //从右到左扫，维护单减栈 
			if(tops < 1){
				s[++tops] = i;
				continue ;
			}
			while(a[s[tops]] < a[i] && tops > 0){ //记得判断tops 
				dr[s[tops]] = tops;
				--tops;
			}
			s[++tops] = i;
		}
		while(tops > 0){ //记得处理栈中剩余元素 
    		dr[s[tops]] = tops;
    		--tops;
		}
		
		
		int mxl = -1;
		for(int i = 1; i <= n; ++i){
			mxl = max(mxl, dl[i] + dr[i] - 1);
		}
		ans = n - mxl; //计算答案
		
		printf("%d\n", ans); //输出。printf真曼妙。 
	}
	
	return 0;
}