约瑟夫环问题的两种实现[链表+数组]
约瑟夫环是一个数学的应用问题：已知n个人（以编号1，2，3...n分别表示）围坐在一张圆桌周围。从编号为k的人开始报数，数到m的那个人出列；他的下一个人又从1开始报数，数到m的那个人又出列；依此规律重复下去，直到圆桌周围的人全部出列。
以下是使用循环链表和数组的两种实现：
1 #include<iostream> 2 using namespace std; 3 4 struct Node 5 { 6 int data; 7 Node *next; 8 }; 9 void CreateLink(Node* &head,int count) 10 { 11 if(!head) 12 head=new Node; 13 head->data=count; 14 Node *pre=head; 15 while(--count>0) 16 { 17 Node * cur=new Node; 18 cur->data=count; 19 pre->next=cur; 20 pre=cur; 21 } 22 pre->next=head;//连接成环 23 } 24 void Traval(Node *link,int num) 25 { 26 Node *p=link; 27 while(num--) 28 { 29 cout<<p->data<<" "; 30 p=p->next; 31 } 32 } 33 void Josephus(Node *head,int m) 34 { 35 Node *pre,*cur; 36 pre=cur=head; 37 int i=1; 38 while(true) 39 { 40 if (i == m) 41 { 42 // 踢出环 43 cout<<cur->data<<" ";// 显示出圈循序 44 pre->next = cur->next; 45 delete cur; 46 cur = pre->next; 47 i = 1; 48 } 49 pre = cur; 50 cur = cur->next; 51 if (pre == cur) 52 { 53 // 最后一个 54 cout<<cur->data<<endl;// 显示出圈循序 55 cout<<cur->data<<" is the winner!"<<endl; 56 delete cur; 57 break; 58 } 59 i++; 60 } 61 } 62 void JosephusUseArray(int count,int m) 63 { 64 int *player=new int[count]; 65 for(int i=1;i<=count;i++) 66 player[i-1]=count-(i-1); 67 int pos=-1; 68 int k=0;//已经出局人数 69 while(true) 70 { 71 if(k==count)//全部出局，游戏结束 72 break; 73 int i=0; 74 while(i<m) 75 { 76 pos=(pos+1)%count; 77 if(player[pos]!=-1) 78 i++; 79 } 80 k++; 81 cout<<player[pos]<<" "; 82 player[pos]=-1;//标识已经出局玩家 83 } 84 delete[] player; 85 } 86 int main() 87 { 88 int count;//总人数 89 int m;//报数间隔 90 cout<<"Please input total player number:"; 91 cin>>count; 92 cout<<"Input m:"; 93 cin>>m; 94 //以下 循环链表实现 95 Node *link=NULL; 96 CreateLink(link,count); 97 cout<<"玩家初始状态："<<endl; 98 Traval(link,count); 99 cout<<endl; 100 cout<<"Game start:"<<endl; 101 Josephus(link,m); 102 //end 103 104 //以下 数组实现 105 JosephusUseArray(count,m); 106 107 return 0; 108 }
另外，从别处看到了另一种非模拟游戏过程的数学解法，此处转载：
扩展：
无论是用链表实现还是用数组实现都有一个共同点：要模拟整个游戏过程，不仅程序写起来比较烦，而且时间复杂度高达O(nm)，当n，m非常大(例如上百万，上千万)的时候，几乎是没有办法在短时间内出结果的。我们注意到原问题仅仅是要求出最后的胜利者的序号，而不是要读者模拟整个过程。因此如果要追求效率，就要打破常规，实施一点数学策略。
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
为了讨论方便，先把问题稍微改变一下，并不影响原意：
问题描述：n个人（编号0~(n-1))，从0开始报数，报到(m-1)的退出，剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。
我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后，剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环（以编号为k=m%n的人开始）:
k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
现在我们把他们的编号做一下转换：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...
...
k-2 --> n-2
k-1 --> n-1
变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题，假如我们知道这个子问题的解：例如x是最终的胜利者，那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗？！！变回去的公式很简单，相信大家都可以推出来：x'=(x+k)%n
如何知道(n-1)个人报数的问题的解？对，只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢？当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题！好了，思路出来了，下面写递推公式：
令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号，最后的结果自然是f[n]
递推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了这个公式，我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值，最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始，我们输出f[n]+1
由于是逐级递推，不需要保存每个f[i]，程序也是异常简单：
1 #include <stdio.h> 2 int main() 3 { 4 int n, m, i, s = 0; 5 printf ("N M = "); 6 scanf("%d%d", &n, &m); 7 for (i = 2; i <= n; i++) 8 { 9 s = (s + m) % i; 10 } 11 printf ("\nThe winner is %d\n", s+1); 12 }
这个算法的时间复杂度为O(n)，相对于模拟算法已经有了很大的提高。算n，m等于一百万，一千万的情况不是问题了。可见，适当地运用数学策略，不仅可以让编程变得简单，而且往往会成倍地提高算法执行效率。
完结
