[Algorithm] 二分查找之旅
我还记得我当年Openjudge上的二分查找整一章都没做QwQ
果然现在要还债了
现在开始补二分查找
一、基本模型
二分查找适用范围为一段连续的、具有单调性的区间（所以通常把二分目标所在范围意淫成数轴区间），
这样最优解的左右两边必有一边为可行解（这样才能缩小区间找到最优解）。
所以二分前还要保证二分区间有序。
下面是二分查找基本模板
int check(int); //用于判定区间中点是否为可行解 int l = 1,r = L; //初始区间左右端点 while(l+1 < r){ int mid = (l+r)/2; if(check(mid) l = mid; //其实这里的区间缩减方式需要具体情况具体修改 else r = mid-1;
}
显然，缩减区间部分不是重点，最关键的是那个check函数（是不是想到了函数式编程？）
区间缩减循环时间复杂度应该是O(logN)，已经被核心思想固定下来了，因此关键在check
check用于确定当前点是否为可行解，一般返回逻辑值（不过我个人倾向只返回计算值然后在while里判断）
有几个坑点需要注意的：
1. 二分终止条件和之后的最终确定最优解需要好好想想。
PS: l < r 搭配l = mid肯定出错，因为当l r在区间上相差1时l 恒等于 mid
2. 在缩减区间的过程中务必做到完善的分类讨论
PS：我经常见到有的人是搭配l = mid+1和r = mid-1加上l <= r，这样我不知道怎么考虑最优解为mid的情况，所以我是不敢这么玩的QwQ
二、题目
二分目标区间为1 ~ L，目标为最小距离的最大值（也就是最优解）。这里check返回的是使x为最小距离的需要搬走的石头数
这个check有点妙
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<algorithm> 5 #define maxn 100000 6 using namespace std; 7 8 int L,n,m,arr[maxn]; 9 10 int check(int line){ 11 12 int pre = 0,ans = 0; 13 14 for(int i = 1;i <= n;i++){ //关键点1 15 if(arr[i]-pre < line) ans++; 16 else pre = arr[i]; 17 } 18 19 return ans; 20 } 21 22 int main(){ 23 scanf("%d%d%d",&L,&n,&m); 24 25 for(int i = 1;i <= n;i++) scanf("%d",&arr[i]); 26 27 arr[++n] = L; 28 29 sort(arr+1,arr+1+n); 30 31 int l = 0,r = L; 32 33 while(l+1 < r){ //关键点2，联系上面的坑点1. 34 int mid = (l+r)/2; 35 if(check(mid) <= m) l = mid; 36 else r = mid-1; 37 } 38 39 if(check(r) <= m) printf("%d",r); 40 else printf("%d",l); 41 42 return 0; 43 }
二分区间为申请名单，目标为分配出现问题的那个申请者。那么怎么Check呢？每Check一个人的时候就直接从头计算一遍。虽然这听上去非常的低效但是这只是O((n+m)logn)。再加上差分数组进行优化，最后还是跑过了（可能这是正解？).至于用线段树怎么写我还无头绪。
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #define maxn 1000000 5 #define mid (l+r)/2 6 using namespace std; 7 8 int n,m,a,b,c,arr[maxn],data[maxn][3],brr[maxn],x; 9 10 int check(int k){ //O(m+n) 11 memset(brr,0,sizeof(brr)); 12 13 for(int i = 1;i <= k;i++){ 14 brr[data[i][1]] -= data[i][0]; 15 brr[data[i][2]+1] += data[i][0]; 16 } 17 18 x = 0; 19 20 for(int i = 1;i <= n;i++){ 21 x += arr[i]+brr[i]; 22 // if(k == 2) printf("%d ",x); 23 if(x < 0) return 0; 24 } 25 26 // cout << endl; 27 28 return 1; 29 } 30 31 int main(){ 32 33 scanf("%d%d",&n,&m); 34 35 for(int i = 1;i <= n;i++){ 36 scanf("%d",&brr[i]); 37 arr[i] = brr[i] - brr[i-1]; 38 } 39 40 // for(int i = 1;i <= n;i++){ 41 // printf("%d ",arr[i]); 42 // } 43 44 // cout << endl; 45 46 47 for(int i = 1;i <= m;i++){ 48 scanf("%d%d%d",&data[i][0],&data[i][1],&data[i][2]); 49 } 50 51 int l = 1,r = m; 52 while(l < r){ 53 if(check(mid)) l = mid+1; 54 else r = mid; 55 } 56 57 if(!check(r)) printf("-1\n%d",r); 58 else if(!check(l)) printf("-1\n%d",l); 59 else printf("0"); 60 // printf("B%d ",r); 61 // printf("C%d ",check(2)); 62 return 0; 63 }
这道题有专门写解题报告。I'm Portal！
二分目标为参数W，二分范围为矿石的质量，嗯嗯。显然的参数W影响参与计算的矿石数量，也就线性影响计算出来的检验值，因此可以二分。
思路倒是简单，但是还是被各种细节坑。QwQ
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cstring> 4 #include<cmath> 5 #define LL long long 6 #define INF (1LL<<62) 7 #define maxn 1000000 8 #define mid (L+R)/2 9 using namespace std; 10 11 LL n,m,S,ret = INF,maxw = 0,tmp; 12 LL cnt1[maxn],cnt2[maxn],w[maxn],v[maxn],ql[maxn],qr[maxn]; 13 14 int check(int x){ 15 cnt1[0] = cnt2[0] = 0; 16 for(int i = 1;i <= m;i++){ 17 cnt1[i] = cnt1[i-1]; 18 cnt2[i] = cnt2[i-1]; 19 if(w[i] >= x){ 20 cnt1[i]++; 21 cnt2[i] += v[i]; 22 } 23 } 24 25 LL ans = 0; 26 27 for(int i = 1;i <= m;i++){ 28 ans += (cnt1[qr[i]]-cnt1[ql[i]-1])*(cnt2[qr[i]]-cnt2[ql[i]-1]); 29 } 30 31 return ans; 32 } 33 34 int main(){ 35 scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&S); 36 37 for(int i = 1;i <= n;i++){ 38 scanf("%lld%lld",&w[i],&v[i]); 39 maxw = maxw>w[i]?maxw:w[i]; 40 } 41 42 for(int i = 1;i <= m;i++){ 43 scanf("%lld%lld",&ql[i],&qr[i]); 44 } 45 46 int L = 0,R = maxw+1; 47 48 while(L <= R){ 49 tmp = check(mid); 50 ret = abs(S-tmp)<ret?abs(S-tmp):ret; 51 if(tmp >= S) L = mid+1; 52 else R = mid-1; 53 } 54 55 printf("%lld",ret); 56 57 return 0; 58 } 59 60 推荐不看
这道题有专门写解题报告。I'm Portal！
