从(0,1)中平均随机出几次才能使得和超过1?

为了证明这一点,让我们先来看一个更简单的问题:任取两个 0 到 1 之间的实数,它们的和小于 1 的概率有多大?容易想到,满足 x+y<1 的点 (x, y) 占据了正方形 (0, 1)×(0, 1) 的一半面积,因此这两个实数之和小于 1 的概率就是 1/2 。类似地,三个数之和小于 1 的概率则是 1/6 ,它是平面 x+y+z=1 在单位立方体中截得的一个三棱锥。这个 1/6 可以利用截面与底面的相似比关系,通过简单的积分求得:
∫(0..1) (x^2)*1/2 dx = 1/6

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可以想到,四个 0 到 1 之间的随机数之和小于 1 的概率就等于四维立方体一角的“体积”,它的“底面”是一个体积为 1/6 的三维体,在第四维上对其进行积分便可得到其“体积”
∫(0..1) (x^3)*1/6 dx = 1/24
依此类推, n 个随机数之和不超过 1 的概率就是 1/n! ,反过来 n 个数之和大于 1 的概率就是 1 - 1/n! ,因此加到第 n 个数才刚好超过 1 的概率就是
(1 - 1/n!) - (1 - 1/(n-1)!) = (n-1)/n!
因此,要想让和超过 1 ,需要累加的期望次数为
∑(n=2..∞) n * (n-1)/n! = ∑(n=1..∞) n/n! = e

posted on 2013-05-27 21:03 _Clarence 阅读(...) 评论(...)  编辑 收藏

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