zr2021神选摸底赛杂题

简述题意：平面上 n 个点，每个点都是一个加油站，每个点都有一个 $c_i$，希望从一号点开车到二号点，油箱上线为 w，你可以在途中进行至多 d 次加油，注意初始时你没有油，所以出发时一定会加一次油，路途中每走 k 个单位的距离就会消耗 k 单位的油，距离为曼哈顿距离，加 k 单位的油需要花费 $c_i\times k$，球最小花费

数据范围：$d\leq 10, n\leq 1000, w\leq 100000$

部分分三档：$n\leq 10$；$n,w\leq 100$；$n\leq 100$

前两档部分分可以通过设 dp 状态 $f[d][i][j]$ 表示当前在 i 号点加第 d 次油，加完后还剩 j 单位油解决

考虑满分做法

首先可以发现，如果从一个大点 i 走到一个小点 j，那么需要保证离开大点时油箱一定是正好有 dis(i,j) 单位油，那如果从一个小点走到一个大点呢

一定要加上 w 单位的油

这好像看起来不太正确啊，但可以用三角不等式证明

假设我们的路途是这样：小点 i 走到大点 j 然后走到一个极小点 k，如果 w 单位的油在到达 k 点时还没消耗完，就是反例了

但是 w 单位的从 i 点加的油一定会在 [j, k] 这个路途中的某一个位置耗尽，因为，如果没有耗尽，那么以为着这油一定能支撑车从 i 走到 k，那么为什么要途经 j 呢？所以问题回到大点走到小点的 case

那么这题就稍微明朗一些了

我们可以把第三维状态缩小一定的范围，因为现在我们发现，我们实际有用的状态数量就是 n 级别的

设 $f[d][i][j]$ 表示当前第 d 次加油，在 i 点，走的时候油箱里有 dis(i,j) 单位的油，特别地，j=n+1 表示留了 w 单位的油

考虑转移（这里为了方便书写，第三维意义还是油箱剩余容量）

大点 j 走小点 i：

需要油箱里有着正好 dis(i,j) 单位的油，所以 $f[d-1][j][dis(j,i)]\rightarrow f[d][i][0]$，我们离开 i 点的时候肯定不能只有 0 的油量，所以还需要向上合并，这个问题先留着，后面再说

小点 j 走大点 i：

需要油箱加满，所以 $f[d-1][j][w]\rightarrow f[d][i][w-dis(j,i)]$，那么问题来了，$w-dis(j,i)$ 这个大小我们没有记啊

一种解决办法是直接再开 n 个状态，表示 $w-dis$

另一种办法是：直接二分到比他大的第一个状态位置，设这个位置大小为 C，合并到那里，同时加上 $(C-(w-dis[j][i]))\times c_i$ 大小

为什么正确呢？因为上面的那个三角不等式证明，所以从 i 点到后面一个点的距离，一定大于 $(C-(w-dis[j][i]))$

但是这个二分带一个 log，$O(dn^2\log n)$ 复杂度肯定是接受不能的

解决办法很容易，二分这个过程对于整个做法而言是独立的，直接预处理就行了，复杂度 $O(dn^2+n^2\log n)$

那么我们就只剩一个问题了，如何向上合并

如果每次转移之后都直接向上转移到顶你就收获了一个 $n^3$ 级别的做法

对于这个问题有个很小的 trick，我们先不合并，先放在转移到的位置上，把当前这个点全部 dp 完了之后，再从最底部直接统一合并到顶

总复杂度：$O(n^2(d+\log n))$

没代码

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简述题意：给定两个序列分别长 n 和 m，m序列初始全为0，n序列给定，$n_i\leq m$，支持三种操作，分别是：1.查询m序列（输出整个序列）；2.n序列上区间赋值；3.将n序列上 [l,r] 区间内的每个 $n_i$，作为下标，对应到 m 序列上，把对应到的位置加上 x

数据范围：查询次数可以看作一次，其他数据全部小于100000

solution1：

正难则反，考虑将操作序列全部倒置来做，对于一次区间加操作，我们可以直接种一颗大小为 n 的线段树，直接区间加

对于区间覆盖操作，我们可以把覆盖的区间求和然后清零，然后将求和的值直接加到覆盖的值对应的位置上

查询操作直接查查就好

$O(n\log n)$

solution2：

上面的做法其实不是很好想，考虑比较常规的做法

一种套路地做法，我们可以把颜色相同的一段连续子序列看成一个点

那么对于覆盖操作，我们可以直接把区间涉及到的小子序列合并成一个颜色，即一个点，当然，两头可能会有多余的位置，再开两个点就好

这个操作总共复杂度是 O(n) 级别的，因为在不断合并连续的子序列，每次最多新产生三个子序列

可以用 set 记录所有子序列的左端点来维护

考虑区间加操作，直接种棵线段树就好了，和上面做法差不多

$O(n\log n)$ 但常数较大且不是很好写

优化：对于区间加操作，我们也把他操作地序列裂开，能方便好写非常多

暂无代码