加密方法、数字签名、RSA 算法、ELgamal 算法

\(1.\) 对称加密

\(Alice\) 给 \(Bob\) 发送信息，用同一个密钥进行解密

对称加密的优点在于加密速度快，难以破解

问题在于，\(Alice,\ Bob\) 在网络上传输密钥的过程不安全

另一方面，若 \(n\ party\) 需要互相传输信息，若两两之间需要一个密钥，那么需要设计 \(C_{n}^{2}\) 个密钥；如果共享一个密钥，只要这个密钥被截获，大家的信息交流都不安全

\(2.\) 非对称加密

\(Alice\) 生成自己的公钥和私钥

\(Bob\) 给 \(Alice\) 发消息，利用 \(Alice\) 的公钥进行加密

\(Alice\) 收到消息后用自己的私钥进行解密

同理，\(Bob\) 自己也会生成公钥和私钥，以便于其他人和自己进行通信

但是，非对称加密的缺陷在于加密大数据的速度慢

\(3.\) 混合加密

非对称加密 \(\rightarrow\) 加密密钥

对称加密 \(\rightarrow\) 加密消息

\(4.\) 数字签名

信息传输过程中，敌手 \(Eve\) 也可以用 \(Alice\) 的公钥发消息，也就是说，\(Alice\) 无法确认信息来自 \(Bob\) 还是 \(Eve\)

\(4.1\) 数字签名

解决方法是 \(Bob\) 给 \(Alice\) 发消息的同时附上自己的数字签名，\(Alice\) 只要验证数字签名是否来自 \(Bob\) 即可

具体来讲，私钥为个人独有，所以\(Bob\) 用私钥加密自己的信息，附在密文后面，\(Alice\) 用 \(Bob\) 的公钥验签，即私钥签名-公钥验签

鉴于非对称加密耗时较久，考虑用哈希函数计算消息的摘要，对摘要进行签名

验证时 \(Alice\) 只需要用 \(Bob\) 的公钥解密摘要，便可以验证消息确实来自 \(Bob\)

\(Alice\) 用 \(Bob\) 的私钥解密密文得到明文，再对明文哈希，判断明文哈希与摘要是否一致，便可以验证消息是否被篡改

但是 \(Eve\) 可以冒充 \(Bob\) 给 \(Alice\) 发送自己的公钥，也就是说，\(Alice\) 无法确认手里的公钥是否是 \(Bob\) 的公钥

\(4.2\) 数字证书

引入可信第三方 \(CA(Certificate\ Authority)\)

\(Bob\) 花钱向 \(CA\) 申请数字证书，\(CA\) 用自己的私钥对证书颁发机构、有效期、公钥、持有者等信息进行签名，并把这些信息封装成数字证书

数字证书可以理解为 \(Bob\) 的公钥的数字签名

\(Alice\) 安装 \(CA\) 的数字证书，用 \(CA\) 的公钥验签，便可以验证消息确实来自 \(Bob\)，随后得到 \(Bob\) 的公钥

\(4.3\) 盲签名

盲签名 签名者不知道消息内容的前提下进行数字签名，有如下性质

• 不可抵赖
• 不可追踪

考虑信息持有者 \(B\) 希望让 \(C\) 签名，但不希望 \(C\) 知晓消息内容，进行如下操作

• \(B\) 盲化消息，发送给 \(C\)
• \(C\) 签名，发送给 \(B\)
• \(B\) 去盲化

由于签名存在，所以不可抵赖；由于去盲化的消息与盲化消息不同，所以签名者不可追踪

\(5.\ RSA\) 加密

\(RSA\) 基于大整数分解问题

\(5.1\) 生成公钥和私钥

选取互质的大素数 \(p,\ q\)，计算 \(n = pq,\ \phi(n) = (p - 1)\cdot (q - 1)\)

选取与 \(\phi(n)\) 互质的整数 \(e\)，计算 \(e\) 在模 \(\phi(n)\) 意义下的逆元 \(d\)，即 \(ed\equiv 1\ (mod\ \phi(n))\)

将 \(e,\ n\) 作为公钥，\(d,\ p,\ q\) 作为私钥

\(5.2\) 加密过程

将消息 \(M\) 映射到 \(\mathbb{Z_{n}}\)，并且利用公钥 \(e,\ n\) 加密为 \(C\equiv M^{e}\ (mod\ n)\)

\(5.3\) 解密过程

计算 \(M = C^{d}\ mod\ n\)

\(5.4\) 正确性

考虑条件

\[ed\equiv 1\ (mod\ \phi(n)) \]

以及如下同余式

\[C^d\equiv M^{ed}\ (mod\ n) \]

若 \((M,\ n) = 1\)，由欧拉定理 \(M^{\phi(n)}\equiv 1\ (mod\ n)\) 知道，\(M^{ed}\equiv M^{ed\ mod\ \phi(n)}\equiv M\ (mod\ n)\)

若 \((M,\ n)\neq 1\)，因为 \(n\) 只有两个素因子 \(p,\ q\)，所以 \(M\) 形如 \(sp,\ tq\)，其中 \(s < q,\ t < p\)，这意味着 \((sp,\ q) = 1,\ (tq,\ p) = 1\)，不妨设 \(M = sp\)

通过验证

\[\begin{aligned} M^{ed} & \equiv M\ (mod\ p)\\ M^{ed} & \equiv M\ (mod\ q) \end{aligned} \]

可以根据中国剩余定理得到

\[M^{ed}\equiv M\ (mod\ n) \]

事实上，根据费马小定理，以及 \(M = sp\) 的形式

\[\begin{aligned} M^{ed} & \equiv (sp)\cdot (sp)^{k(p - 1)(q - 1)}\equiv M\ (mod\ q)\\ M^{ed} & \equiv 0\equiv M\ (mod\ p) \end{aligned} \]

所以

\[M^{ed}\equiv M\ (mod\ n) \]

同理可证 \(M = tq\) 的形式

所以，\(RSA\) 的正确性得到证明

\(6.\ ElGamal\) 加密

\(ElGamal\) 基于循环群上的离散对数问题

\(6.1\) 密钥生成

\(Alice\) 选取生成元 \(g\)，生成一个 \(q\) 阶循环群 \(G\)

\(Alice\) 从 \(\left\{1,\ 2,..,\ q - 1 \right\}\) 中随机选择一个 \(x\)

计算 \(h = g^x\)

选择 \(h,\ G,\ q,\ g\) 为公钥，\(x\) 为私钥

\(6.2\) 加密

\(Bob\) 从 \(\left\{1,\ 2,..,\ q - 1 \right\}\) 中随机选择一个 \(y\)，计算 \(c_{1} = g^{y}\)

\(Bob\) 计算共享秘密 \(s = h^y\)

\(Bob\) 将消息 \(m\) 映射到 \(G\) 上元素 \(m'\)，计算 \(c_{2} = m'\cdot s\)

\(Bob\) 将 \((c_{1},\ c_{2}) = (g^y,\ m'\cdot (g^{x})^{y})\) 发送给 \(Alice\)

\(6.3\) 解密

\(Alice\) 利用密钥 \(x\) 计算共享秘密 \(s = c_{1}^{x} = (g^{y})^x\)，以及 \(s^{-1} = (g^{y})^{-x}\)

进而计算出明文消息 \(m' = s^{-1}\cdot m'\cdot (g^{x})^{y} = (g^{y})^{-x}\cdot m'\cdot (g^{x})^{y}\)

\(6.4\) 特性

非确定加密，加密的密文取决于随机数 \(y\)