一阶线性同余方程逆

一阶线性同余方程

给定 $a,b,m$ ，求整数 $x$ ，满足 $ax\equiv b\ (mod \ m)$。

这说明 $ax-b$ 是 $m$ 的倍数，设为 $-y$ 倍，这就得到二元线性丢番图方程 $ax+my=b$ 。

所以，求解一阶线性同余方程等价于二元线性丢番图方程。

定理

设 $a,b,m\in N$ ，$m>0$ ，$(a,m)=d$ 。

若 $d\nmid b$ ，则 $ax\equiv b\ (mod \ m)$ 无解。

若 $d\mid b$ ，则 $ax\equiv b\ (mod \ m)$ 有 $d$ 个模 $m$ 不同余的解。

推论

$a $ 和 $m$ 互质时，因为 $d=(a,m)=1$ ，所以线性同余方程 $ax\equiv b\ (mod \ m)$ 有唯一的模 $m$ 不同余的解。

这条推论在求解同余方程有很重要的作用。先求逆，再用逆求 $x$ 。

逆

（一）求单个逆

扩展欧几里得

对于 $ax\equiv1\ (mod \ m)$ ，即丢番图方程 $ax+my=1$ ,

先用扩展欧几里得算法算出 $ax+my=1$ 的一个特解 $x_0$ ，通解 $x=x_0+mn$ 。

若要求最小整数解，则 $x=((x_0\ mod \ m) + m)\ mod \ m$ 。

费马小定理

快速幂求逆元费马小定理 - AKgrid - 博客园

（二）求多个逆

若要求 $1\sim n$ 模 $p$ 所有的逆，用递推法。时间复杂度 $O(n)$ 。

首先，$i=1$ 时，$i^{-1} = 1$ 。当 $i > 1$ 时，

（1）设 $p/i=k$ ，余数为 $r$ ，所以 $k\ \cdot\ i+r\equiv0\ (mod\ p)$；

（2）等式两边同乘 $i^{-1} \ \cdot\ r^{-1}$ ，得 $k\ \cdot\ r^{-1} +i^{-1}\equiv 0\ (mod\ p)$；

（3）移项得 $i^{-1}\equiv-k\ \cdot\ r^{-1}\ (mod\ p)$ ，代入 $k=p/i$ ，得 $i^{-1}\equiv-p/i\ \cdot\ r^{-1}\ (mod\ p)$ ;

（4）由于 $0\equiv p\ (mod \ p)$ ，叠加后得到 $i^{-1}\equiv(p-p/i)\ \cdot\ r^{-1}\ (mod\ p)$。

（三）用逆求解同余方程

对于 $ax\equiv b\ (mod \ m)$，直接两边同时乘 $a^{-1}$ ,就得到方程的解 $x\equiv a^{-1}b\ (mod \ m)$。

其中，$a\ \cdot\ a^{-1}\equiv 1\ (mod\ m)$，可以利用这一点简单求逆。

这里假设了 $(a,m)\mid b$ ，即同余方程有解。

例如，$8x\equiv 22\ (mod\ 31)$ ，两边同时乘以 $8$ 模 $31$ 的逆 $4$ （ $8 \times 4 \equiv 1 \ (mod \ 31)$ ），得到 $x\equiv 88\ (mod \ 31)\equiv 26\ (mod \ 31)$。

[AcWing878] 线性同余方程

题目描述

给定 $n$ 组数据 $a_i,b_i,m_i$，对于每组数求出一个 $x_i$，使其满足 $a_i \times x_i \equiv b_i \pmod {m_i}$，如果无解则输出 impossible。

输入格式

第一行包含整数 $n$。

接下来 $n$ 行，每行包含一组数据 $a_i,b_i,m_i$。

输出格式

输出共 $n$ 行，每组数据输出一个整数表示一个满足条件的 $x_i$，如果无解则输出 impossible。

每组数据结果占一行，结果可能不唯一，输出任意一个满足条件的结果均可。

输出答案必须在 $int$ 范围之内。

数据范围

$1 \le n \le 10^5$,
$1 \le a_i,b_i,m_i \le 2 \times 10^9$

输入样例：

2
2 3 6
4 3 5

输出样例：

impossible
-3

算法

注意结果开 $long \ long$ 。

C++ 代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, x, y;
using LL = long long ;
int exgcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if (!b)
    {
        x = 1, y = 0;
        return a;
    }
    int x1, y1;
    int d = exgcd(b, a % b, x1, y1);
    x = y1, y = x1 - a / b * y1;
    return d;
}

int main()
{
    cin >> n;
    while (n --)
    {
        int a, b, m;
        cin >> a >> b >> m;
        int d = exgcd(a, m, x, y);
        if (b % d) puts("impossible");
        else 
        {
            x = (LL)x * b / d % m;
            cout << x << endl;
        }
    }
    return 0;
}

P3811 【模板】模意义下的乘法逆元

题目背景

这是一道模板题

题目描述

给定 $n,p$ 求 $1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

这里 $a$ 模 $p$ 的乘法逆元定义为 $ax\equiv1\pmod p$ 的解。

输入格式

一行两个正整数 $n,p$。

输出格式

输出 $n$ 行，第 $i$ 行表示 $i$ 在模 $p$ 下的乘法逆元。

输入输出样例 #1

输入 #1

10 13

输出 #1

说明/提示

$1 \leq n \leq 3 \times 10^6$，$n < p < 20000528$。

输入保证 $ p $ 为质数。

算法

模版题，线性求多个逆元。

代码

#include <iostream>
using namespace std;

const int N = 3e6 + 10;
long inv[N];

int main() {
  int n, p;
  scanf("%d%d", &n, &p);
  inv[1] = 1;
  puts("1");
  for (int i = 2; i <= n; i++)
    printf("%ld\n", inv[i] = (long)p - (p / i) * inv[p % i] % p);
}

posted @ 2025-02-13 19:59 AKgrid 阅读(39) 评论(0) 收藏举报

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