快速幂求逆元 费马小定理

董晓算法：G13 同余式 乘法逆元 费马小定理（通俗易懂）

[AcWing876] 快速幂求逆元

876. 快速幂求逆元 - AcWing题库

题目描述

给定 \(n\) 组 \(a_i, p_i\)，其中 \(p_i\) 是质数，求 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元，若逆元不存在则输出 impossible。

注意：请返回在 \(0 \sim p-1\) 之间的逆元。

乘法逆元的定义

若整数 \(b，m\) 互质，并且对于任意的整数 \(a\)，如果满足 \(b|a\)，则存在一个整数 \(x\)，使得 \(\frac{a}{b} ≡a \times x \pmod m\)，则称 \(x\) 为 \(b\) 的模 \(m\) 乘法逆元，记为 \(b^{-1} \pmod m\)。

\(b\) 存在乘法逆元的充要条件是 \(b\) 与模数 \(m\) 互质。当模数 \(m\) 为质数时，\(b^{m-2}\) 即为 \(b\) 的乘法逆元。

输入格式

第一行包含整数 \(n\)。

接下来 \(n\) 行，每行包含一个数组 \(a_i, p_i\)，数据保证 \(p_i\) 是质数。

输出格式

输出共 \(n\) 行，每组数据输出一个结果，每个结果占一行。

若 \(a_i\) 模 \(p_i\) 的乘法逆元存在，则输出一个整数，表示逆元，否则输出 impossible。

数据范围

\(1 \le n \le 10^5\),
\(1 \le a_i,p_i \le 2\times 10^9\)

输入样例：

3
4 3
8 5
6 3

输出样例：

1
2
impossible

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算法

费马小定理

设 \(n\) 是质数，\(a\) 是正整数且与 \(n\) 互质，有 \(a^{n-1}\equiv 1\ (mod \ n)\)。

则 \(a ^{n-2}\ mod \ n\\\) 就是 \(a\) 模 \(n\) 的逆。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
using ll = long long;

ll fastPow(int a, int b, int p)
{
    auto res = 1ll;
    while (b){
        if (b & 1) res = res * 1ll * a % p;
        a = a * 1ll * a % p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int n; cin >> n;
    while (n--){
        int a, p; cin >> a >> p;
        if (a % p) cout << fastPow(a, p - 2, p) << endl;
        else cout << "impossible" << endl;
    }

    return 0;
}