数字三角形模型 [AcWing1018] 最低通行费

数字三角形模型 [AcWing1018] 最低通行费

题目描述

一个商人穿过一个 \(N×N\) 的正方形的网格，去参加一个非常重要的商务活动。

他要从网格的左上角进，右下角出。

每穿越中间 \(1\) 个小方格，都要花费 \(1\) 个单位时间。

商人必须在 \((2N-1)\) 个单位时间穿越出去。

而在经过中间的每个小方格时，都需要缴纳一定的费用。

这个商人期望在规定时间内用最少费用穿越出去。

请问至少需要多少费用？

注意：不能对角穿越各个小方格（即，只能向上下左右四个方向移动且不能离开网格）。

输入格式

第一行是一个整数，表示正方形的宽度 \(N\)。

后面 \(N\) 行，每行 \(N\) 个不大于 \(100\) 的正整数，为网格上每个小方格的费用。

输出格式

输出一个整数，表示至少需要的费用。

数据范围

\(1 \le N \le 100\)

输入样例：

5
1  4  6  8  10
2  5  7  15 17
6  8  9  18 20
10 11 12 19 21
20 23 25 29 33

输出样例：

109

样例解释

样例中，最小值为 \(109=1+2+5+7+9+12+19+21+33\)。

1018. 最低通行费 - AcWing题库

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算法

时间复杂度 \(O(n^2)\)

这题范围不大，不用滚动数组写了。

就是要注意一下，这里试求最小值，所以一开始 \(dp\) 数组要初始化为 \(inf\) ，不能初始化为 0 。另外初始 \(dp[1][1]=a[1][1]\) 。

这里提供两种状态转移方程的写法，就不细讲了，主要看代码。

C++ 代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n; 
const int N = 105;
int a[N][N];
int dp[N][N];

int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            cin >> a[i][j];

    memset(dp,0x3f,sizeof(dp));// 由于是求最小值，dp全部必须初始化为inf
    dp[1][1] = a[1][1];// dp[1][1]得初始化a[1][1]

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            // 两种写法
            // 第一种写法保证dp[1][1]和dp[0][1]=inf、dp[1][0]=inf比较下不出错
            // 第二种写法就直接把dp[1][1]的情况踢掉了(0^_^0)
            // 写法1：
            // dp[i][j] = min(dp[i][j], min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + a[i][j]);
            // 写法2：
            if (i > 1 || j > 1) dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]) + a[i][j];

    cout << dp[n][n] << endl;

    return 0;
}