《The Probabilistic Methods》读书笔记
对进阶概率论的语言不熟悉，看英文就更痛苦了。所以找了一个《概率方法十讲》的书，以为是中文译本，但是问了问deepseek，说是课程笔记之类的。
先看吧，感觉英文版的根本看不懂。
第一讲 概率方法
这一讲的主题是渐进在概率论里的应用。
开头先讲了一个类似组合数的特殊数-Ramsey(k,t)，即找到一个最小的点数满足，这个点数里完全图无论怎么染色都会有个全是蓝边的$K_k$或者全是红边的$K_t$。
但是不同于组合数的是，这个数很难算，而且这个数是否存在也不是很直观。所以没有给出定量的计算方法。作者接下来介绍了几个对其进行定性的处理方法。
定理1.1
介绍了一个估算下界的方法。依赖不同选点时候，重合的部分少，同时需要两个参数相等，然后证明在这个限制下Ramsey(s,s)是存在的。
在这里用概率论证明是有优越性的，因为只要关注同色的子图。
一个未解之谜：为啥我感觉这个定理是可以用容斥来进行比较精确的计算？我的理解是只要能快速算出相交集合的概率就能算，相交集合也确实没有那么难算吧？有可能是因为比较难估算？但是如果连R(6,6)的计算都很困难的话，这个精确计算是值得的吧？
然后是对这个式子进行渐进，然后估出来用这个式子算出来的Ramsey(s,s)。
就是把斯特林公式和 $n^{\underline{k}}$ ~ $n ^ {k}$带入，同时将定理改写成1+ O(1）的等式，然后解方程。因为都是k - 1次幂，所以开k-1次方一下，然后移项一下就行。
其实就是超越方程渐进成能解的高次方程，然后求解，这个问题的难点在如何渐进，这本书还挺经常用到这个东西的。
知乎的推荐算法真是神了，我点进去就给我推处理渐进的书 卢健龙的回答 - 知乎 ，但是我随机翻了《概率方法十讲》里后面几个涉及到渐进的题，感觉就是高数和算法竞赛能覆盖的知识点。如果后面发现这个东西很重要，我再买这本书。
定理1.2
定理比上一个更近一步，考虑的是两个参数不同的情况，但是还是忽略了重合的部分来放缩。
但是考虑问题的时候变成了有p的概率边会出现，1-p的概率边不会出现。
有第一次的基础，理解证明是简单的。
然后再进行渐进，先用k = 4的情况来算出概率，然后在带入几个渐进的式子，估出目标的值。
定理1.3
还是完全图的背景，但是现在不是染色了，是对边进行定向，然后完全图每条边都定向就是竞赛图。然后定义了$S_k$：在一个竞赛图里，对每个点来说，都有k个入边。
然后介绍了一个定理：无论k多大，都存在对应的有限点数$S_k$。
我感觉没什么好讲的，都在书上面了。只要理解了第一个方法，1.2和1.3都是类似的解决套路。独立证明有难度，但是书里的内容应该都是能理解的。
定理1.4
这个又是一个独立的背景了，就是只有游戏，没有可以嵌入一个完全图的要求。
这个定理求了大于一个标准差的概率，但是假设有点多。书里说在第四章证明，我还是在那个章节细细了解吧。
这个定理是1.5和1.6的前置，还是得背一背的。
定理1.5
我觉得这个定义还挺复杂的，就是先定义fit(竞赛图) = 找出所有次序里，使这个竞赛图[赢的次数 - 输的次数]最大的次序，然后要在所有竞赛图里找到使fit(竞赛图)最小的竞赛图。
就是证明一个上限，只要取min，都不可能比这个上限大了。
定理1.6
还是完全图的背景，然后又变成染色，这个定理关注的是两种颜色的差。
没啥好讲的，跳。
有个课后习题，还没做，也不是很能get到题目的意思，希望在上半年能有机会做出来，虽然感觉可能是道挺简单的题。
定理1.7
也是一个类似Ramsey的定义，就是现在定义一个集合，这个集合的元素是同样大小的染色过的完全图，然后找到一个最小值能满足找m个大小为n的目标集合。
定理1.8
第二讲 删除法和其他改进
这一讲的主题是构造。更明确一点的话：这里的构造是先随机出来一个东西，然后对其进行一些确定性的调整。
定理2.1
首先回顾下Ramsey的定义，然后想一下这个：只要一个点数下，存在一种染色使图里没有大小为k的同色团，Ramsey就肯定比这个数大。
然后其他的就在书里了，先是随机出一种染色，然后每个团里删掉一个点，图里就没有大小为k的同色团了，Ramsey就肯定比他大。
可能有人就会问了，那万一几个大小为k的团连起来了咋办。其实这只是证明存在团存在，团与团之间的颜色是可以不用关心的，就算连起来了，你把团外的改下颜色就好，本质上是一个比较trivial的代码实现的问题。这些是不同团之间的边，改成异色以后不会导致与其他团相连，因为团内的边颜色没变，想形成团是不可能的。
后面开始渐近了，这个渐进有点松，但是整体估出来的上界比以前好。
在最后就用同样的方法对非对角的Ramsey进行操作。
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