(cvpr2019) The Degradation Model and Solution of DPSR

新的退化模型：

$y = (x\downarrow_{s}) \otimes k + n $

其中$\downarrow_{s}$代表尺度因子为$s$的双三次下采样，$y$表达的是低分辨率图像(经过双三次下采样)，该图像是高分辨率的图像$x$的模糊和噪声版本。

下一步再列出能量公式(energy function)，根据最大后验估计(Maximum A Posteriori probability)：

$min_{x}\frac{1}{2\sigma^{2}}||y-(x\downarrow_{s}\otimes k)||^{2} + \lambda\phi(x)$

其中$\frac{1}{2\sigma^{2}}||y-(x\downarrow_{s}\otimes k)||^{2} $是数据保真项(data fidelity)也是似然，该项被退化模型决定($\sigma$表示噪声水平noise level);$\phi (x)$是正则化也是先验。

使用变量分割(这里取决HQS算法，half quadratic splitting)，引入辅助变量：

$\hat{x} = argmin_{x}\frac{1}{2\sigma^{2}}||y-z\otimes k||^{2} + \lambda \phi(x) ==》 z = x\downarrow_{s}$    

HQS算法处理上式，最小化下面的问题：

$L_{\mu}(x,z) =\frac{1}{2\sigma^{2}}||y-(z \otimes k)||^{2} + \lambda\phi(x) + \frac{\mu}{2}||z-x\downarrow_{s}||^{2}$

其中$\mu$是惩罚参数，非常大的$\mu$强迫$z$近似等于$x\downarrow_{s}$

上式使用两个迭代公式解决：

(1) $z_{k+1} = argmin_{z} ||y-(z \otimes k)||^{2} + \mu \sigma^{2} ||z-x\downarrow_{s}||^{2}$

(2) $x_{k+1} = argmin_{x} \frac{\mu}{2}||z-x\downarrow_{s}||^{2} + \lambda\phi(x) $

式子2，从贝叶斯观点：

(3) $x_{k+1} = argmin_{x}\frac{1}{2(\sqrt{1/\mu})^{2}}||z_{k+1}-x\downarrow_{s}||^{2} + \lambda \phi(x)$ 

$z_{k+1}$对应超分辨率图像，其中尺度因子为$s$,而且假设$z_{k+1}$是一个从高分辨率图像$x$经过双三次下采样得到的；同时，遭受了噪声水平为$\sqrt{1/\mu}$的加性高斯白噪声。

上面的公式所代表的超分辨率问题，相当于解决下面的简单双三次退化模型,as follows:

$y = x\downarrow_{s} + n$

所以解决上式的简单双三次退化模型问题，在广泛应用的双三次退化的基础上，在一定的噪声水平下，插入基于dnn的超分解器来代替公式3。公式2和公式3可以进一步的写成下式：

$x_{k+1} = SR(z_{k+1}, s, \sqrt{1/ \mu})$

模糊核K只能够利用公式1，来解决模糊失真(distortion of blur),同时，它使当前的估计变得不那么模糊。

公式2将模糊程度较低的图像映射到更清晰的HR图像，经过公式1、2多次交替迭代，

最终可以重建的HR图像没有模糊和噪声。