[数据结构与算法-12]一些小东西

一些小东西

秦九韶算法

概述

一般地，一元\(n\)次多项式的求值需要经过\((n+1)\times n/2\)次乘法和\(n\)次加法，而秦九韶算法只需要n次乘法和\(n\)次加法

\[f(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \]

秦九韶算法按如下分解

\[\begin{align} f(x) &= a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 \\ &= (a_nx^{n-1} + a_{n-1}x^{n-2} + \cdots + a_1)x + a_0 \\ &= ((a_nx^{n-2} + a_{n-1}x^{n-3} + \cdots + a_2)x + a_1)x + a_0 \\ & \cdots \\ &= (\cdots(a_nx + a_{n-1})x + a_{n-2})x+a_{n-3})x+ \cdots + a_1)x + a_0 \end{align} \]

代码实现

double f(double x){
    double ans=a[n];
    for (int i = n-1; i >= 0; i--){
        ans *= x;
        ans += a[i];
    }
    return ans;
}

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辗转相除法/欧几里得算法

概述

设两数为a、b(a>b)，用gcd(a,b)表示a，b的最大公约数，r=a (mod b) 为a除以b的余数，k为a除以b的商，即a÷b=kr。辗转相除法即是要证明gcd(a,b)=gcd(b,r)。

• 令c=gcd(a,b)，则设a=mc，b=nc

• 根据前提可知r =a-kb=mc-knc=(m-kn)c

• 根据第二步结果可知c也是r的因数

• 可以断定m-kn与n互质(假设m-kn=xd，n=yd (d>1)，则m=kn+xd=kyd+xd=(ky+x)d，则a=mc=(ky+x)cd，b=nc=ycd，则a与b的一个公约数cd>c，故c非a与b的最大公约数，与前面结论矛盾)，因此c也是b与r的最大公约数。

从而可知gcd(b,r)=c，继而gcd(a,b)=gcd(b,r)。

代码实现

int gcd(int a, int b){
    return a%b?gcd(b,a%b):b;
}

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快速交换两个整数的值

思路

利用异或的性质

• x ^ x = 0
• x ^ 0 = x
• a ^ b = b ^ a
• (a ^ b ) ^ c = a ^ (b ^ c)

我们进行以下操作

操作	a	b
a ^= b	a ^ b	b
b ^= a	a ^ b	b ^ (a ^ b) = (b ^ b) ^ a = a
a ^= b	(a ^ b) ^ a = b	a
\	b	a

a ^= b ^= a ^= b;