题解 [AGC026B] rng_10s

【洛谷专栏】。

多校联考考这个题，然后因为大样例给的太水了很多人因此挂分。

题意

当 \(A \ge B\) 时，\(A \gets A - B\)，如果此时 \(A \le C\)，\(A \gets A + D\)。

请问能否无限循环执行下去。

分析

首先分析几个比较容易判断的条件。

\(A < B\) 时不会进入循环，所以不能。

\(D < B\) 时即使进入了循环也没有用，因为即使能加也不能使 \(A\) 回到原来的水平。

对于剩下的情况，此时已经保证了 \(A \ge B\)，\(D \ge B\)。

一种显然会无限循环的情况是 \(C \ge B-1\)，因为当 \(A < B\) 时必然满足 \(A \le C\) 的情况，且 \(D \ge B\)，所以一定又会将 \(A\) 加回 \(A \ge B\) 的状态。

剩下的情况是绝对无解或有解的吗？并不是。

如果我们可以找到一个非负整数 \(k\) 使得 \(( a + k(d-b) ) \bmod b > c\)，也就是说经过一定的操作后 \(C < A < B\)，那么就不能继续循环了。

将上面那个式子转化为同余方程 \(kd \equiv x - a \pmod{b}\)，需要找到一个 \(x \in (c,b)\) 使得该同余方程有解。

根据裴蜀定理，同余方程有解的条件是 \(\gcd(b,d) \mid (x-a)\)，于是我们直接求最大的 \(x\) 即可。

单次时间复杂度 \(O(\log n)\)。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL a,b,c,d;
void solve(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d);
	if(d<b||a<b) puts("No");
	else{
		if(c>=b-1) puts("Yes");
		else{
			LL g=__gcd(d,b);
			a%=b;
			LL x=(b-1-a)/g*g;
			puts((a+x)%b>c?"No":"Yes");
		}
	}
}
int main(){
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--) solve();
	return 0;
}