题解 CF1999G2 Ruler (hard version)

【洛谷专栏】。

很简单的交互题，不怎么需要动脑子。

题意

这是一道交互题。

和简单版本不同的是，你最多可以进行 \(7\) 次查询。

有一个秘密的尺子，上面缺少一个数字 \(x\)。当你测量一个长度为 \(y\) 的物体时，尺子会报告以下值：

• 如果 \(y < x\)，尺子（正确地）测量物体长度为 \(y\)。
• 如果 \(y \ge x\)，尺子错误地测量物体长度为 \(y+1\)。

你需要找出 \(x\) 的值。为此，你可以进行以下形式的查询：

• \(\texttt{? a b}\)，作为响应，我们将用我们的尺子测量一个 \(a \times b\) 的矩形的边长，并将结果相乘，向你报告测量出的矩形面积。

找出 \(x\) 的值，回答格式为 \(\texttt{! x}\)。

分析

每次可以询问两个值，如果二分同一个值的话未免显得有点浪费。

答案具有单调性，且 \(\log_3 999\) 略小于 \(7\)，考虑三分。

初始时 \(l = 2, r = 999\)，设 \(m_1 = l + \left\lfloor \dfrac{r-l} 3 \right\rfloor, m_2 = r - \left\lfloor \dfrac{r-l} 3 \right\rfloor\)。

查询 \(m_1 \times m_2\) 组成矩形测出来的面积 \(S\)，有如下三种情况：

• \(S = (m_1 + 1) (m_2 + 1)\)，说明 \(x \le m_1 \le m_2\)，\(r \gets m_1\)。
• \(S = m_1 (m_2 + 1)\)，说明 \(m_1 < x \le m_2\)，\(l \gets m_1 + 1, r \gets m_2\)。
• \(S = m_1 m_2\)，说明 \(m_1 \le m_2 < x\)，\(l \gets m_2 + 1\)。

最后得到的 \(l\) 即为缺失的数字 \(x\)，每次询问区间长度会缩小到原来的 \(\dfrac 1 3\) 倍，询问次数可以保证。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
#define FLUSH fflush(stdout)
using namespace std;
int check(const int x,const int y){
	printf("? %d %d\n",x,y),FLUSH;
	int ret;scanf("%d",&ret);
	return ret;
}
void solve(){
	int l=2,r=999;
	for(int m1,m2,ret;l<r;){
		m1=l+(r-l)/3,m2=r-(r-l)/3;
		ret=check(m1,m2);
		if(ret==(m1+1)*(m2+1)) r=m1;
		else if(ret==m1*(m2+1)) l=m1+1,r=m2;
		else l=m2+1;
	}
	printf("! %d\n",l),FLUSH;
}
int main(){
	int T;scanf("%d",&T);
	while(T--) solve();
	return 0;
}