题解 [ABC344F] Earn to Advance

【洛谷专栏】。

感觉不难，但是没能场切。

题意

题目翻译非常清晰。

分析

观察到最优路径上停留获取金币点的 \(P\) 一定是单调递增的，正确性显然。

简单证明一下，设停留获取金币点的序列为 \(p\)，如果存在 \(i<j,P_{p_i}>P_{p_j}\)，那么就可以在 \(p_i\) 的位置上花比 \(p_j\) 更少的步数来获取在 \(p_j\) 上获得同样多的钱。

设 \(h_{i,j}\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 所需的最小步数，\(q_{i,j}\) 表示从 \((1,1)\) 走到 \((i,j)\) 步数的最小情况下剩余最多前的数量，\(g_{i,j,k,l}\) 表示从 \((k,l)\) 到 \((i,j)\) 需要最少钱的数量（需要保证 \(k \le i,l \le j\)）。

\(g\) 非常好求，递推即可。然后就可以写出 \(h\) 的转移方程：

\[h_{i,j} = \min\limits_{k \le i,l \le j} \left( h_{k,l} + \left\lceil\dfrac{\max(g_{i,j,k,l}-q_{k,l},0)}{P_{k,l}}\right\rceil + i-k + j-l \right) \]

最终的答案就是 \(h_{n,n}\)。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
int n;
int p[88][88],r[88][88],d[88][88];//分别对应题目中的 P,R,D。
LL g[88][88][88][88],h[88][88],q[88][88];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&p[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<n;j++) scanf("%d",&r[i][j]);
	for(int i=1;i<n;i++)for(int j=1;j<=n;j++) scanf("%d",&d[i][j]);
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1;j<=n;j++){
		memset(g[i][j],0x3f,sizeof(g[i][j]));
		g[i][j][i][j]=0;//从 (i,j) 往 (k,l) 逆序递推。
		for(int k=i;k>0;--k)for(int l=j-(k==i);l>0;--l)
			g[i][j][k][l]=min(g[i][j][k+1][l]+d[k][l],g[i][j][k][l+1]+r[k][l]);//从下方和右方转移。
	}
	memset(h,0x3f,sizeof h);
	h[1][1]=r[1][1]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)for(int j=1+(i==1);j<=n;j++){
		for(int k=1;k<=i;k++)for(int l=1;l<=j;l++){//枚举最后停留获取钱的位置。
			LL t=max((g[i][j][k][l]-q[k][l]+p[k][l]-1)/p[k][l],0ll);//需要停留的步数，向上取整使用鸽巢原理转为向下取整。
			if(h[k][l]+t+i-k+j-l<h[i][j])
				h[i][j]=h[k][l]+t+i-k+j-l,//更新最短步数。
				q[i][j]=t*p[k][l]+q[k][l]-g[i][j][k][l];//更新剩余的钱。
			else if(h[i][j]==h[k][l]+t+i-k+j-l && t*p[k][l]+q[k][l]-g[i][j][k][l]>q[i][j])//步数相等就求钱剩的最多。
				q[i][j]=t*p[k][l]+q[k][l]-g[i][j][k][l];
		}
	}
	printf("%lld\n",h[n][n]);
	return 0;
}