题解 CF1850E Cardboard for Pictures

题意

给你 $n$ 个整数 $s$ 和一个整数 $c$，你需要找到一个整数 $w$ 满足 $\sum\limits_{i=1}^n(2w+s_i)^2=c$。

分析

很显然这是一个一元二次方程。

将上式根据完全平方公式化简可以得到，我们要求的方程是：$$ 4nw^2+(2\sum\limits_{i=1}^ns_i)w+\sum\limits_{i=1}^ns_i^2=c $$ 移项又可以得到：$$ 4nw^2+(2\sum\limits_{i=1}^ns_i)w+(\sum\limits_{i=1}^ns_i^2)-c=0 $$ 所以直接用求根公式可以解得：$$ w=\dfrac{-2\sum\limits_{i=1}^ns_i+\sqrt{4(\sum\limits_{i=1}^ns_i)^2-16n\sum\limits_{i=1}^ns_i^2}}{8n} $$

注意事项

可能需要用到 __int128，需要使用 C++20，并且需要手写 sqrt 函数。（但是 long double 强转好像也可以过）。

代码

//the code is from chenjh
#include<cstdio>
typedef long long LL;
int n;LL c;
__int128 mySqrt(__int128 x){if(!x)return 0;__int128 left=1;__int128 right=x>>1;while(left<right){__int128 mid=(right+left)/2+1;if(mid>x/mid) right=mid-1;else left=mid;}return(__int128)left;}//手写二分 sqrt。
void solve(){
    scanf("%d%lld",&n,&c);
    LL A=(n<<2),B=0,C=0;//一元二次方程的三个系数。
    for(int i=1,s;i<=n;i++){
        scanf("%d",&s);
        B+=s,C+=s*s;
    }
    B<<=2ll;
    printf("%lld\n",LL((-B+mySqrt((__int128)B*B-(__int128)4*A*(C-c)))/2/A));//根据求根方程求解。
}
int main(){
    int T;scanf("%d",&T);
    while(T--) solve(); 
    return 0;
}