位运算相关技巧

主要是状态压缩中会遇到的一些问题。

基础运算

• 与 （$\ \&\ $)：有0就0
• 或 （$\ |\ $）：有1就1
• 异或 (^ 或者 \(xor\)）：同0异1
• 非（取反） （ ~ ) ：0变1，1变0
  注意：在符号型整数\(（int,long\ long)\)下进行按位取反运算会使得最高位（也就是符号位）也取反，并使数值加1，如\(\\~6=-7\).

联系应用

按位位运算的特点：独立性，即只改变整数二进制表示下的某位，并不影响其他位.

异或：常与trie（字典树）结合，把整数二进制表示下的各位压进trie上，在trie上进行按位操作. 如：最大异或对,最长异或路径

初始化

空位赋值为1

常见的状压都是通过用‘1’来表示节点已使用，但也有些题会结合lowbit，让我们把空位设为‘1’以取出能用的空位.（如：数独)

我们可以采用以下初始化方法：

n=(1<<x)-1

以此将n的左x位全设为1.

memset

• 赋值为正无穷：

memset(f,0x3f,sizeof(f));

• 赋值为负无穷：

memset(f,0c3f,sizeof(f));

状压操作

对于一个整数n的二进制表示（^为异或）:

• 取出第k位

(n>>k)&1

• 取出后k位 （与初始化类似的思想）

n&((1<<k)-1)

• 第k位按位取反

n=n^(1<<K)

• 第k位赋值为1

n=n|(1<<K)

• 第k位赋值为0

n=n&(~(1<<K))

lowbit

lowbit(n)表示取出n在二进制表示下最低位的‘1’及其后面的0.

如：\(6_{(10)}=110_{(2)}\)，则\(lowbit(6)=10_{(2)}=2_{(10)}\)

可以用来找出n在二进制表示下所有是‘1’的位，也是树状数组的基础.

• 具体操作：

$ lowbit(n) = n \& (-n) $

若要取出所有是‘1’的位的位置，则先用Hash预处理\(log_2\)，使得\(lg[1<<x]=x\)；如lowbit(n)取出\(100_{(2)}=1<<3\)，则最低位的‘1’在第三位

注意：位置从0开始，如\(110_{(2)}\)，最低位位置为1

每次取出lowbit(n)后减去它，使当前最低位的‘1’前移.

• 代码实现：

int n,lg[(1<<20)+1];
void lowbit()
{
    for(int i=0;i<=20;i++) lg[1<<i]=i; //预处理
    while(n){
        cout<<lg[n&(-n)]<<endl; 
        //输出当前最低位‘1’的位置，如110(2)输出1
        n-=n&(-n);
    }
}