树上最近公共祖先（LCA）

LCA介绍-Lowest Common Ancestor 最近公共祖先

1.何为最近公共祖先？

如图，在一棵无环树上，点4、7的公共祖先有1！5！；最近公共祖先则为5

类似，6、7的最近公共祖先为1；而6、1的LCA则为1.

2.LCA有何用？

当你求出了两个点的LCA，你就可以求出树上这两点间的最短路径.
如上图，4、7的最短路径为 4-5-2-7 .

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实现

查阅了一下发现有两种方法：Tarjan（离线）和倍增.
但目前只学过倍增 XD
有关倍增思想后续会专出一篇来讲（ST表也会用到）
在这里先简单解释：参考二进制，任何自然数都可以被拆分成\(2^x + 2^y + 2^z...\)，所以我们可以将跳的步数拆分成几个2的乘方之和，便可大大加快程序运行（ \(O（nlogn）\) ）
注意：从大向小拆！像填二进制数，若能在高位填1就填.

核心思想： 用d(deep)数组记录深度，f[i][j]记录第\(i\)个点的第\(2^j\)个祖先；进行倍增跳时先使两点跳到同一深度，再一起向上跳，直到两点相遇，相遇点即为它们的LCA.

例子（拿刚才的图改了下:P）：

8深度3，2深度1
由于\(log_2 n\)不到3，所以8先以\(2^2=4\)的步子向上迈，发现踩到虚空了；
于是再以\(2^1=2\)的步子迈到了5，此时它俩深度一样；

然后一起跳，以\(2^0=1\)的步子跳到同一位置1，则1就是他们的LCA.

下面是代码实现.

Code

1.前置工作
先算\(log_2 n\)，限制f数组范围

for(l=0; (1<< (l+1) )<n; l++); //求出理论能跳的最远距离（l=limit）

2.DFS初始化
DFS的同时顺手记录深度，并更新f数组.

void dfs(int now,int fa,int dep) //遍历
{
	d[now]=dep; //记录深度
	f[now][0]=fa; //初始时f[i][0]就是i的父亲（2^0=1）
	for(int j=1;j<=l;j++)
		f[now][j]=f[ f[now][j-1] ][j-1]; //其实就是状态转移，更新下now的祖宗们
	for(int i=head[now];~i;i=e[i].next) //linklist遍历
	{
		if(e[i].v!=fa) //防止回头撞墙
			dfs(e[i].v,now,dep+1);
	}
}

3.跳到同一深度

if(d[a]<d[b]) swap(a,b); //保证a比b深
for(int i=l;i>=0;--i) //从大到小跳！
{
	if(d[f[a][i]]>=d[b]) //判断能不能跳（如果跳过头了就不跳）
		a=f[a][i];
}
if(a==b) return a; //跳完后在同一节点，说明b就是a的祖先，直接返回

4.一起跳！

for(int i=l;i>=0;--i) //一起跳
{
	if(f[a][i]!=f[b][i]) //若祖先不同就 跳！
	{
		a=f[a][i];
		b=f[b][i]; //跳进染缸~
	}//因为是祖先不同才跳，所以跳到最后a、b都在同一父亲的子节点处
}
return f[a][0]; //返回a的父亲

例题：洛谷P3379 模版题